Quantoren und Kennzeichnung

Es werden dann noch Quantoren und der Kennzeichnungsoperator eingeführt:

1. Unbeschränkter Allquantor (Alloperator): $(x) (Rot(x))$ oder $Rot(x)$ bedeuten 'Jeder durch x bezeichnete Gegenstand ist Rot'.
2. Unbeschränkter Existenzquantor (Existenzoperator): $(\exists x) (Rot(x))$ bedeuten 'Es gibt mindestens einen durch x bezeichneten Gegenstand, der Rot ist'
3. Beschränkter Allquantor: $(x)n (Rot(x))$ mit $n \in \cal N$ bedeutet für $n=3$ 'Jeder durch x bezeichnete Gegenstand von '0' bis '3' ist Rot' (eine Konjunktion!).
4. Beschränkter Existenzquantor: $(\exists x)n (Rot(x))$ mit $n \in \cal N$ bedeutet für $n=3$ 'Es gibt mindestens einen durch x bezeichneten Gegenstand von '0' bis '3', der Rot ist' (eine Disjunktion).
5. Kennzeichnungsoperator: $(K x)n (Rot(x))$ mit $n \in \cal N$ bedeutet für $n=3$ 'Der kleinste durch x bezeichnete Gegenstand von '0' bis '3', der Rot ist'. Falls es keinen solchen gibt, bezeichnet der ausdruck den Gegenstand 0.

In allen Fällen heisst die Variable des Operators die Operatorvariable, das $n$ heisst die Schranke und die nachfolgende Formel der Operand des Operators. Aus praktischen Gründen kann man Klammern oft weglassen, aber syntaktish gehören sie zum Ausdruck fest dazu. Ene Variable, die als Variable eines Operators auftritt, ist im Einzugsbereich des Operators gebunden, andernfalls frei. Ausdrücke, in denen wenigstens eine Variable frei ist, heissen offen, ansonsten geschlossen. Die geschlossene Ausdrücke entsprechen bei anderen Autoren dem, was diese Sätze nennen, und offene Ausdrücke dem, was Satzfunktion heisst. Kommt in einem Ausdruck $A$ eine Variable $x$ frei vor -geschrieben $A[x]$- , und man ersetzt die Variable $x$ durch eine Konstante $c$ in diesem Ausdruck -geschrieben $A(_c^x)$- , dann entsteht dadurch ein neuer Ausdruck $A$ mit $c$ für $x$. (Vergleiche zum obigen [36]:Pp.19-21).