Einteilung der Typen und Stufen

Zusätzlich zur bisherigen syntaktischen Terminologie von Sprache I werden jetzt die zusätzlichen Begriffe Typ und Stufe eingeführt.

Regeln für die Typ-Zuweisung:

1. Jedes $t \in \cal TRM$ ist vom Typ 0
2. Haben die Terme $t1, t2, \cdots, tn \in \cal TRM$ als elemente eines Argumentes $\langle t1, t2, \cdots, tn\rangle$ jeweils die Typen $\tau_{1}, \tau_{2}, \cdots, \tau_{n}$, so hat das Argument den Typ $\tau_{1}, \tau_{2}, \cdots, \tau_{n}$
3. Hat in einem Satz der Form $Pr(Arg)$ das Argument Arg den Typ $\tau$, dann hat der Satz den Typ ($\tau$).
4. Hat in einem Satz der Form $Fu(Arg_{1}) = Arg_{2}$ das Argument $Arg_{1}$ den Typ $\tau_{1}$ und das Argument $Arg_{2}$ den Typ $\tau_{2}$, dann hat der Satz den Typ ( $\tau_{1} : \tau_{2}$).

Regeln für die Stufen-Zuweisung:

1. Jedes $t \in \cal TRM$ hat die Stufe 0
2. Die Stufenzahl eines Argumentes $Arg$ ist gleich der grössten Stufenzahl seiner Elemente.
3. Die Stufenzahl eines Prädikates $Pr(Arg)$ ist um 1 höher als die Stufenzahl seines Argumentes $Arg$
4. Die Stufenzahl eines Terms $Fu(Arg_{1}) = Arg_{2}$ ist gleich der größten Stufenzahl eines der beiden Argumente $Arg_{1}$ oder $Arg_{2}$.

Eine andere Charakterisierung der Stufenzahl bezieht sich auf die syntaktische Form einer Typenbezeichnung. Danach ist die Stufenzahl des gesamten Ausdrucks gleich der Anzahl der Klammerpaare '(...)' in denen '0' eingeschlossen sind. Diese Regeln seien hier in Form eines einfachen Ersetzungssystems (Typ-3 Grammatik) gegeben:

1. $\tau$ kann ersetzt werden durch:
2. $'('\tau, \cdots, \tau')'$ oder
3. $'('\tau, \cdots, \tau ':' \tau')'$ oder
4. '0'

Beispiele von Typenbildungen:

1. $\tau$
2. $'('\tau, \tau')'$
3. $'('0, 0')'$
4. Stufe 1

1. $\tau$
2. $'('\tau, \tau')'$
3. $'(''('\tau, \tau')', '('\tau, \tau ':' \tau ')'')'$
4. $'(''('0, 0')', '('0, 0 ':' 0')'')'$
5. Stufe 2

1. $\tau$
2. $'('\tau, \tau ':' \tau ')'$
3. $'((' \tau ')', '('\tau '):('\tau '))'$
4. $'(('0')', '('0'):('0'))'$
5. Stufe 3

(vgl. [36]:Pp.75 - 77).