Umformungsbestimmungen: Ableitung oder Beweis

Hat man eine endliche Folge von Sätzen $S1, S2, S3, \cdots, Sn$ so dass jeder Satz, der dem letzten Satz $Sn$ vorausgeht entweder eine Prämisse ist, oder eine Definition oder ein Grundsatz (Axiom) oder aber ein Satz ist, der aus vorausgehenden Sätzen durch eine direkte Schlussregel gewonnen wurde, dann bezeichnet man eine solche endliche Folge von Sätzen eine Ableitung für $Sn$. Kommen in einer solchen Ableitung keine speziellen Prämissen vor, sondern nur Grndsätze und Definitionen, dann handelt es sich bei einer solchen Folge um einen Beweis und der letzte Satz in dem Beweis heisst beweisbar bzw. heisst auch analytisch bzw. tautologisch. Heute schreibt man für die ableitbarkeit eines Satzes $Sn$ auch $S1, S2, S3, \cdots, Sn-1 \vdash Sn$, und für die Beweisbarkeit von $Sn$ aus einer leeren Prämissenmenge $\vdash Sn$.

Vor diesem Hintergrund führt Carnap noch ein paar weitere Begriffe ein:

  1. Ein Satz heisst kontradiktorisch wenn er logisch ungültig ist, d.h. immere falsch ist.
  2. Ein geschlossener Satz S1 ist widerlegbar, wenn $\sim S1$ beweisbar ist.
  3. Ein Satz heisst synthetisch, wenn er weder analytisch (tautologisch) noch kontradiktorisch ist.
  4. Ein Satz heisst unentscheidbar, wenn er weder beweisbar noch widerlegbar ist.
(vgl. [36]:Pp.25-27).

Gerd Doeben-Henisch 2010-12-16