Vektoren

Vektor: Ein Vektor ist ein Element aus einem n-fachen kartesischen Produkt

$$\textbf{v} \in \Re^{n}$$ (8.1)

$$\textbf{v} = \langle v_{1}, v_{2}, \cdots \rangle$$ (8.2)

Addition von zwei Vektoren: Zwei Vektoren v,v' gleicher Länge lassen sich wie folgt addieren:

$$\textbf{v} + \textbf{v'} = \langle v_{1} + v'_{1}, v_{2} + v'_{2}, \cdots \rangle$$ (8.3)

Subtraktion von zwei Vektoren: Zwei Vektoren v,v' gleicher Länge lassen sich wie folgt subtrahieren:

$$\textbf{v} - \textbf{v'} = \langle v_{1} - v'_{1}, v_{2} - v'_{2}, \cdots \rangle$$ (8.4)

Multiplikation mit Skalar: Ein Vektor v läßt sch mit einem Skalar $a \in \Re$ multiplizieren:

$$a \times \textbf{v} = \langle a \times v_{1}, a \times v_{2}, \cdots \rangle$$ (8.5)

Kollineare Vektoren: Zwei Vektoren v,v' gleicher Länge sind kollinear zueinander, wenn $a \in \Re$ und es gilt:

$$\textbf{v'} = a \times \textbf{v}$$ (8.6)

Linear erzeugbare Vektoren: Ein Vektor v gilt als linear erzeugbar aus den Vektoren $\textbf{v}_{1}, \textbf{v}_{2}, \cdots, \textbf{v}_{n}$ wenn es gleichviele Skalare $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \Re$ gibt, so daß gilt:

$$\textbf{v} = a_{1}\textbf{v}_{1} + a_{2}\textbf{v}_{2} + \cdots + a_{n}\textbf{v}_{n}$$ (8.7)

Linear unabhängige Vektoren: Eine Menge von Vektoren $\textbf{v}_{1}, \textbf{v}_{2}, \cdots, \textbf{v}_{n}$ gilt als linear unabhängig wenn keiner der Vektoren $\textbf{v}_{i}$ aus den anderen Vektoren linear erzeugbar ist.

n-dimensionaler Vektorraum: n-linear unabhängige Vektoren spannen einen n-dimensionalen Vektorraum auf. Die n linear unabhängigen Vektoren werden auch die Basis dieses Vektorraumes genannt.

Satz: In einem n-dimensionalen Vektorraum kann es nicht mehr als n-viele linear unabhängige Vektoren geben.

Satz: Seien die Vektoren $\textbf{e}_{1}, \textbf{e}_{2}, \cdots, \textbf{e}_{i.n}$ die n-dimensionale Basis eines Vektorraumes mit $\textbf{e}_{i} = \langle e_{i.1}, e_{i.2}, \cdots, e_{i.n}\rangle$, dann gilt, daß jeder andere Vektor v dieses Raumes sich als eine Linearkombination über den Einheitsvektoren darstellen läßt, also

$$\textbf{v} = \langle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\rangle \Longrightarrow a_{1}\textbf{e}_{1} + a_{2}\textbf{e}_{2} + \cdots + a_{n}\textbf{e}_{n}$$ (8.8)

Inneres Vektorprodukt (auch Skalarprodukt) Das innere Produkt -Zeichen $*_{ip}$ oder $v.w$ oder $vw$- von zwei Vektoren v,w ist die Summe der Produkte der Einzelkomponenten, also

$$a = v *_{ip} w$$ (8.9)

$$a = \sum_{i=1}^{length(v)} v_{i} * w_{i}$$ (8.10)

Basisvektoren Die einzelnen Werte eines Vektors repräsentieren Skalare, die mit dem jeweiligen Basisvektor $e_{i}$ multipliziert werden, also $\textbf{v} = \langle a_{1}\textbf{e}_{1}, a_{2}\textbf{e}_{2}, \cdots, a_{n}\textbf{e}_{n}\rangle$ und $\textbf{w} = \langle b_{1}\textbf{e}_{1}, b_{2}\textbf{e}_{2}, \cdots, b_{n}\textbf{e}_{n}\rangle$ gilt:

$$\textbf{v}\cdot \textbf{w} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \cdots + a_{n} b_{n}$$ (8.11)

Länge -oder Norm- eines Vektors: Mit Vektor v gilt:

$$\mid\mid\textbf{v}\mid\mid = (\textbf{v}\textbf{v})^{1/2}$$ (8.12)

Einheitsvektor: Will man alle Werte auf den Wertebereich [0,1] normieren, dann sprich man von einem Einheitsvektor angezeigt durch ein aufgesetztes Caret, wie z.B. $\hat{\imath}$. Der normalisierte Vektor oder versor $\hat{u}$ eines von Null verschiedenen Vektors u ist der Einheitsvektor, der mit u kodirektional ist.

$$\hat{\textbf{u}} = \frac{\textbf{u}}{\Vert\textbf{u}\Vert}$$ (8.13)

wobei $\Vert\textbf{u}\Vert$ die Norm oder Länge von u genannt wird. Die Begriffe normalisierter Vektor und Einheitsvektor werden of synonym gebraucht.

Anmerkung: Will man die relativen Abstände erhalten, muß man allerdings alle Vektoren auf eine einzige Norm beziehen, sinnvollerweise auf die größte Norm aller beteiligten Werte.

-->INP
 INP  =
 
    1.    2.  
    1.    3.  
    2.    2.  
    2.    3.  
    4.    4.  
    4.    5.  
    5.    4.  
    5.    5.  
    6.    1.  
    6.    2.  
    7.    1.  
    7.    2.  

INP3=doNormU(INP)

INP3  =
 
    0.1373606    0.2747211  
    0.1373606    0.4120817  
    0.2747211    0.2747211  
    0.2747211    0.4120817  
    0.5494423    0.5494423  
    0.5494423    0.6868028  
    0.6868028    0.5494423  
    0.6868028    0.6868028  
    0.8241634    0.1373606  
    0.8241634    0.2747211  
    0.9615239    0.1373606  
    0.9615239    0.2747211  

function [INP3]=doNormU(INP)
  
  [r,c] = size(INP)
  Maxnorm=0
  INP3=[]
  //Looping through the input to find maximal norm
  for i=1:r
  v=[INP(i,1) INP(i,2)]
  if norm(v) > Maxnorm then Maxnorm=norm(v)
  end
   end
  //Looping through the input to normalize uniformly
  for i=1:r
  v=[INP(i,1) INP(i,2)]
  v=v/Maxnorm
  INP3(i,1)=v(1)
  INP3(i,2)=v(2)
  end

endfunction

Figure 8.1: Transformation of three figures from not being normalized into being normalized by the maximal norm of a set

Satz: Mit Vektoren v, v', Skalar $a \in \Re$, und Null '0' gilt:

$$\mid\mid a\textbf{v}\mid\mid = \mid c\mid \mid \mid\textbf{v}\mid\mid$$ (8.14)

$$\mid\mid \textbf{v} + \textbf{v'}\mid\mid \leq \mid\mid\textbf{v}\mid\mid + \mid\mid\textbf{v'}\mid\mid$$ (8.15)

$$\textbf{v}\cdot 0 = 0$$ (8.16)

$$0 \cdot \textbf{v} = 0$$ (8.17)

$$\textbf{v}\cdot \textbf{w} = \textbf{w} \cdot \textbf{v}$$ (8.18)

$$a\textbf{v}\cdot b\textbf{w} = a b(\textbf{v}\cdot\textbf{w})$$ (8.19)

$$\textbf{v}\cdot(\textbf{w} + \textbf{x}) = \textbf{v} \cdot\textbf{w} + \textbf{v} \cdot\textbf{x}$$ (8.20)

$$\textbf{w}\cdot (\cdots + a_{i}\textbf{v}_{i}+\cdots) = \cdots+a_{i}(\textbf{w}\cdot\textbf{v}_{i}) +\cdots$$ (8.21)

$$\mid\textbf{v}\cdot \textbf{w}\mid \leq \mid\mid\textbf{v}\mid\mid \mid\mid\textbf{w}\mid\mid$$ (8.22)

Winkel zwischen Vektoren Mit Vektoren v,w und Winkel $\theta$ kann man definieren (Winkel im Bogenmaß $\{0,\pi\})$:

$$\textbf{v}\cdot \textbf{w} = \mid\mid\textbf{v}\mid\mid \mid\mid\textbf{w}\mid\mid cos \theta$$ (8.23)

$$cos \theta = \frac{\textbf{v} \textbf{w}}{\mid\mid\textbf{v}\mid\mid\mid\mid\textbf{w}\mid\mid}$$ (8.24)

$$\theta = cos^{-1} \left(\frac{\textbf{v} \textbf{w}}{\mid\mid\textbf{v}\mid\mid\mid\mid\textbf{w}\mid\mid}\right)$$ (8.25)

Orthogonale Vektoren: Wenn ein Vektor v senkrecht (orthogonal) auf einem anderen Vektor w steht, soll dies geschrieben werden:

$$\textbf{v} \perp \textbf{w}$$ (8.26)

Satz: Zwei Vektoren v, w sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null '0' ist

$$\textbf{v} \perp \textbf{w} \Longleftrightarrow \textbf{v} \cdot \textbf{w} = 0$$ (8.27)

Satz: Orthohonalität impliziert Lineare Unabhängigkeit, nicht umgekehrt.

$$\{v\mid Orthogonal(v) \} \subset \{v\mid LinearIndependent(v) \}$$ (8.28)

Projektion von v auf l im Winkel $\theta$: Wenn ein Vektor v im Winkel $\theta$ zu einer Geraden l steht, dann fällt der projizierte Abschnitt x von v auf l um so größer (kleiner) aus, umso kleiner (größer) der Winkel $\theta$ ist:

$$x = \mid\mid\textbf{v}\mid\mid cos \theta$$ (8.29)

$$= \mid\mid\textbf{v}\mid\mid \left(\frac{\textbf{v} \textbf{w}}{\mid\mid\textbf{v}\mid\mid \mid\mid\textbf{w}\mid\mid}\right)$$ (8.30)

$$= \frac{\textbf{v}\cdot \textbf{w}}{\mid\mid\textbf{w}\mid\mid }$$ (8.31)