Anhang: Logik der PM

Wir nehmen als Ausgangspunkt für die logische Darstellung den logischen Apparat, wie er in den Principia Mathematica von Russel und Whitehead in der 2.Aufl. von 1927 [230] benutzt wird. Wir passen allerdings die Symbolik ein wenig der heutigen Schreibweise an.

1. Atomare Aussagen p,q,r,s,t können wahr oder falsch sein.
2. 1-stellige Relationen $R_{1}$ heissen auch Prädikate, z.B. $R_{1}(x)$ bedeutet, dass dem Objekt $X$ die Eigenschaft $R_{1}$ zukommt.
3. $R_{n}(x,y, ...,z)$ bezeichnet im allgemeinen eine n-stellige Relation, d.h. die n-vielen Objekte $x,y, ..., ,z$ stehen in der n-stelligen Beziehung $R_{n}$.
4. 2-stellige Relationen $R_{2}$ bilden einen Spezialfall, da man diese oft auch infix schreibt als $[xR_{2}y]$

In den Principia werden dann Wahrheitswertoperatoren für Aussagen eingeführt, die einen Operator als Grundoperator annehmen und alle darueber definieren:

$$p\mid p \Longleftrightarrow is true whenever either or both are false$$ (9.1)

$$\sim p \Longleftrightarrow p\mid p$$ (9.2)

$$p \Rightarrow q \Longleftrightarrow p\mid \sim q$$ (9.3)

$$p \vee q \Longleftrightarrow \sim p\mid \sim q$$ (9.4)

$$p \wedge q \Longleftrightarrow \sim (p\mid q)$$ (9.5)

Eine Darstellung als Wahrheitswertfunktionen wäre wie folgt:

p	q	$\mid$	$\wedge$	$\vee$	$\Rightarrow$
1	1	0	1	1	1
1	0	1	0	1	0
0	1	1	0	1	1
0	0	1	0	0	1

Komplexere Ausdrücke (molecular propositions) werden in den Principia durch Substition von Ausdrücken in andere gebildet. Wenn man einen Ausruck $p$ hat, dann kann man einen anderen schon gebildeten Ausdruck dafür einsetzen, also z.B. $p \mid q$ kann in $p$ eingesetzt werden; dann könnte man sowohl im $p$ als auch im $q$ von $p \mid q$ wieder $p \mid q$ einsetzen, man bekäme ( $p \mid q) \mid (p \mid q)$, usw.

In den Principia wird die Menge der atomaren und der molekularen Ausdrücke zusammengefasst unter der Menge der elementaren Ausdrücke. Dies erscheint vom heutigen Standpunkt aus umständlich. Heute würde man nur zwischen den atomaren und den molekularen Ausdrücken unterscheiden.

Für die Definition der elementaren Ausdrücke (EP) könnte man auch induktiv vorgehen, wobei man die Existenz der atomaren Propositionen (AP) p,q,r,s,t voraussetzt:

1. $AP \subseteq EP$
2. Wenn $p,q \in EP \Longrightarrow (p\mid q) \in EP$
3. Nur (1) - (3) definieren die Menge $EP$

Jeder beliebige elementare Ausdruck $F \in EP$ entspricht dann entweder einem atomaren Ausdruck $p$ oder einem molekularen Ausdruck $F(p,q,r, ...)$ mit atomaren Ausdrücken $p,q,r,...$, die durch den Unverträglichkeitsoperator $\mid$ miteinander verknüpft sind. Unter Benutzung eines Allquantors für Ausdrucksvariablen $(....)$ oder $\forall$

$$(p,q,r,...) F(p,q,r,...)$$ (9.6)

oder

$$\forall p,q,r,... F(p,q,r,...)$$ (9.7)

kann man dann sagen, dass der elementare Ausdruck $F(p,q,r, ...)$ für alle Kombinationen von atomaren Propositionen wahr ist (bzw. für alle möglichen Belegungen mit Wahrheitswerten; man würde dies als Tautologie bezeichnen). Die Principia führen dafür auch die abkürzende Schreibweise ein:

An anderer stelle wird dieser Sachverhalt auch so beschrieben, dass ein elementarer Ausdruck der Form

$$(x) \phi(x)$$ (9.8)

so verstanden wird, dass für die Variable $x$ beliebige konkrete Werte eingesetzt werden können, also z.B. $a,b,c,...$. Die daraus resultierenden konkreten Propositionen $\phi(a), \phi(b), \phi(c), ...$ bilden dann konkrete mögliche Werte der allgemeinen Form $(x) \phi(x)$ (vgl. PM:XX).

$$\vdash F(p,q,r,...)$$ (9.9)

Ferner kennen die $PM$ auch noch spezielle Variablen für elementare Propositionsvariablen. Sei $F(p,q,r, ...)$ eine elementare Proposition mit dem Operator $F$ und seien $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ Operatoren von Teilausdrücken in $F$, also $F = f_{1}, f_{2}, f_{3}$, dann gilt, dass F jeden einzelnen Teiloperator $f_{i}$ impliziert. So kann man z.B. sagen, dass die spezielle Schlussregel

$$p,q,r \in EP and true p and true p\mid (q\mid r) \Longrightarrow r$$ (9.10)

auch so verstanden werden kann

$$F(f_{1}, f_{2}, f_{3}) and f_{1}(p) and f_{2}(p\mid (q\mid r)) \Longrightarrow f_{3}(r)$$ (9.11)

Im Falle der Propositionen als molekulare Propositionen $R_{n}(x,y, ...)$ werden die Argumente $x,y,...$ der molekularen Propositionen als Individuen oder als Partikulare (particulars) bezeichnet, die Operatoren $R_{i}$ als Universale (universals) oder auch als Komponenten (components) (vgl. PM:22). Syntaktisch sind sowohl die $x,y,...$ wie auch die $R_{i}'s$ Teile (parts) einer Propositionen und man sagt, dass Teile in Propositionen vorkommen (occurs). Falls die Teile einer Proposition Individuen sind, dann spricht die $PM$ auch von Konstituenten.

Aus heutiger Sicht sind diese Begrifflichkeiten unsystematisch und eher verwirrend. Aber um die PM zu verstehen, muss man sich mit dieser Begrifflichkeit vertraut machen.

Analog dem Fall, dass über alle Werte einer Proposition gesprochen werden soll, gibt es in der $PM$ auch den Fall, dass nur wenigstens ein (some) Wert wahr sein soll:

$$(\exists x) \phi(x)$$ (9.12)

$$(\exists x,y,z,...) \phi(x,y,z, ...)$$ (9.13)

Eine Mischung der Quantoren wird in der $PM$ geschrieben als:

$$(\exists x):(y) \phi(x,y)$$ (9.14)

oder mit heutiger Symbolik:

$$\exists x\forall y \phi(x,y)$$ (9.15)

Die $PM$ führt dann die Unterscheidung zwischen einer Matrix und einem Präfix ein. Sei

$$\Phi(x_{1},x_{2},x_{3}, ...)$$

eine elementare Proposition mit den Variablen $x_{1},x_{2},x_{3}, ...$. Dies wird dann eine Matrix genannt. Eine Sequenz von Quantoren

$$(\exists x_{1})(x_{2})(x_{3}),...$$

bildet dann ein Präfix. Verknüpft man eine Matrix mit einem Präfix

$$(\exists x_{1})(x_{2})(x_{3}),... \Phi(x_{1},x_{2},x_{3}, ...)$$

wird dies als Generalisierung verstanden und die aus einer Generalisierung hervorgehende Proposition heisst dann eine generalisierte Proposition. Sind alle Variablen solche, die durch Individuenkonstanten ersetzt werden können, dann wird von einer Proposition erster Ordnung gesprochen.

Die $PM$ führt dann weitere Schlussregeln ein:

$$\phi a \vdash (\exists x)\phi(x)$$ (9.16)

$$(x)\phi(x) \vdash \phi a \wedge \phi b$$ (9.17)

$$(x)\phi(x) and (x)\phi(x)\Rightarrow (x)\psi(x) \vdash (x)\psi(x)$$ (9.18)

$$p and p\Rightarrow q \vdash q$$ (9.19)