CHAPTER IV: Scientific Description of Reality
4.4. Scales
'95-Knowbot

(The english annotations below are only a rough characterization of the content of the german text)






KAPITEL IV: Wissenschaftliche Beschreibung der Wirklichkeit
4.4. Skalen
AUTHOR: Gerd Döben-Henisch
COAUTHOR: Joachim Hasebrook
DATE OF FIRST GENERATION: March 5, 1998
DATE OF LAST CHANGE: March 5, 1998
ADDRESS: INM - Institute for New Media, Frankfurt, Germany
EMAIL: doeb@inm.de
URL: INM
Copyright (c) Gerd Döben-Henisch
STATUS: Work in Progress
COOPERATION: Everybody is invited to share the discussions, to contribute with own ideas. The authors decide whether such contributions are accepted for incorporation in the final version.



    The concept of 'scale' in the realm of measurement has a very broad menaing


    		Der Begriff der 'Skala' ist im Kontext der Meßtheorie sehr breit und vielschichtig (Für eine sehr gute Übersicht siehe Klaus BERKA 1983). Will man sich einem bestimmten Sprachgebrauch anschließen, wird man eine mehr oder weniger große Klasse von alternativen Verwendungen ausschließen.

    Von den vielen Aspekten, die zu der Vagheit des Begriffs 'Skala' im Kontext des Messens führen, sind es vor allem zwei, die sehr nachhaltig sind. Der eine, den BERKA auch gleich zu Beginn seines Überblicks anführt, gründet darin, daß der Begriff der Skala nicht unabhängig von der eigentlichen Meßtheorie begründet werden kann, daß es aber bislang genau an solch einer hinreichend ausgearbeiteten Meßtheorie fehlt (BERKA 1983:2 und 3). Der andere hat zu tun mit dem Verhältnis von abstrakten - normalerweise mathematischen - Strukuren zu den konkreten empirischen Elementen des konkreten Messens. Obwohl es keine eins-zu-eins Abbildung abstrakter Strukturen in die Menge der endlichen empirischen Elemente konkreter Meßvorgänge geben kann (BERKA 1983:45-51), ist dieses Verhältnis kaum befriedigend gelöst. Entweder klammert man die empirischen Anteile praktisch ganz aus (z.B. SUPPES/ZINNES 1963), oder aber man läßt die Frage mehr oder weniger unbeantwortet.


    Here will the concept of 'scale' be introduced on the basis of the before defined empirical measurement theory


    		Vor diesem Hintergrund wird hier die Strategie eingeschlagen, unter Voraussetzung der zuvor formulierten empirischen Meßtheorie EMT den Begriff der Skala als ein Element dieser Meßtheorie einzuführen und dann den Typ der Skala durch Bezugnahme auf eine Signatur von Relationen zu bestimmen. Diese Relationen können rein empirische Relationen sein oder rein abstrakte


    The set of DATA as a set of scales


    		Nach der vorausgesetzten empirischen Meßtheorie liefern Meßoperationen [mop] mit Meßgeräten Mengen [DATA] von empirischen Feststellungen vom Typ DAT: Es wird jetzt hier angenommen, daß jede solche Menge vom Typ DATA mindestens eine Skala bildet, d.h. eine Skala ist zunächst nichts anderes als eine Menge von einzelnen Datenfeststellungen. Kommen in der Menge DATA Datenfeststellung von verschiedenen Meßgeräten vor, dann bilden die Datenfeststellungen von jedem Meßgerät charakteristische Teilmengen, die jede für sich eine Skala definiert.

    Legt man für die allgemeine empirische Meßtheorie EMT eine endliche Menge konkreter Meßgeräte und Meßoperationen mit diesen Meßgeräten fest und fügt man die daraus resultierende Menge DATA von Daten als A_dat zu den Axiomen der Meßtheorie hinzu, dann bekommt man eine spezialisierte empirische Meßtheorie EMT_i mit einer Menge von potentiellen Skalen SK_1, ..., SK_n.


    A scale combined with a scale-signature yields a certain scale-type


    		Damit aus einer einfachen Skala SK ein bestimmter Skalentyp wird, muß man zeigen, daß es eine endliche Menge von Relationen RT gibt, die für die Elemente der Skala SK gelten. Eine Folge solcher Relationen RT = <R_1, ..., R_n>, geordnete nach Stellenzahl und innerhalb der Stellenzahl alphabetisch, soll eine Skalensignatur heißen. Zusätzlich können noch spezielle Axiome A_spec_rt angegeben werden, die alle den Axiomen A_spec der spezialisierten empirischen Meßtheorie EMT_i hinzugefügt werden.

    Für jede einzele Skala aus A_dat einer spezialisierten empirischen Meßtheorie EMT_i kann man dann einen Skalentyp wie folgt angeben:

    SC_TYPE(X) iff X = < SC_i, RT, A_spec_rt>

    mit
    • SC_i c DATA (die Meßwerte eines bestimmten Meßgerätes)
    • RT (eine bestimmte Signatur für SC_i)
    • A_spec_rt (Axiome für die Relationen aus RT)

    The empirical scale-signature can be replaced by an abstract scale-type. This presupposes a mapping of the empirical sets into the abstract sets which normally is accompanied by a loss of information.


    		In der Literatur zu Skalen und zur Meßtheorie wird gewöhnlich, wenn es darum geht, mathematische Mittel in die Meßtheorie einzubringen, eine Abbildung von empirischen Mengen und empirischen Operationen (die als solche meist kaum definiert sind) auf abstrakte Mengen und Operationen vorgenommen. Dieser Weg wird hier nicht beschritten.

    Statt die empirischen Mengen und Operationen auf abstrakte Strukturen abzubilden werden bei diesem Vorgehen dort, wo abstrakte Mittel zum Einsatz gebracht werden sollen, die abstrakten relationen über abstrakten Mengen typisiert und es werden nur die empirischen Mengen auf die abstrakten Mengen abgebildet. Eine solche Abbildung von empirischen Mengen in abstrakte und umgekehrt ist in den meisten Fällen nicht verlustfrei, d.h. sie ist nur möglich unter Aufgabe von Eigenschaften bzw. von Informationen. Trotzdem ist es durch solche Abbildungen von Mengen aufeinander bis zu einem gewissen Grade möglich, die abstrakten Relationen auf die empirischen Mengen anzuwenden und das Verhalten der empirischen Elemente im Lichte abstrakter Relationen zu testen.

    Werden statt der empirischen Relationen abstrakte Relationen benutzt, dann kann man entsprechend eine abstrakte Signatur angeben. die zugrundeliegende Skala wäre dann eine solche, deren empirischen Werte mittels der Abbildungsaxiome auf das entsprechende abstrakte Mengenniveau geliftet wären. Entsprechend würden auch die Axiome benutzt, die im Kontext der abstrakten Relationen vorgesehen sind.


    (Remark: Because the following examples of measuring scales have been written befor this more general concept of scale the reader will be encounter some discrepancies in the formal representations related to the view explained here.)


    		Anmerkung: Da die nachfolgenden Beispiele zu verschiedenen Skalentypen vor der hier formulierten allgemeineren Fassung des Skalenbegriffs geschrieben wurden, stimmen sie in der formalen Darstellung z.Zt. nicht ganz mit den hier eingeführten Konzepten überein.)
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