CHAPTER IV: Scientific Description of Reality
4.4. Simple Empirical Scales
4.4.5: Empirical Ratio Scales (and other Scales)
'95-Knowbot

(The english annotations below are only a rough characterization of the content of the german text)




KAPITEL IV: Wissenschaftliche Beschreibung der Wirklichkeit
4.4. Einfache Empirische Skalen
4.4.5: Empirische Verhältnisskalen (und andere Skalen)
AUTHOR: Gerd Döben-Henisch
COAUTHOR: Joachim Hasebrook
DATE OF FIRST GENERATION: Febr 17, 1998
DATE OF LAST CHANGE: Febr 18, 1998
ADDRESS: INM - Institute for New Media, Frankfurt, Germany
EMAIL: doeb@inm.de
URL: INM
Copyright (c) Gerd Döben-Henisch
STATUS: Work in Progress
COOPERATION: Everybody is invited to share the discussions, to contribute with own ideas. The authors decide whether such contributions are accepted for incorporation in the final version.

    Ratio Scales


    		Wie im vorausgehenden Abschnitt beschrieben, ist die Verhältnisskala ein Spezialfall einer Intervallskala, da gilt:
    1. F_r_scale(x) = a * x + b (a != 0, b = 0)
      2.
    Dazu ein Beispiel.


    Example Length Measurement


    		Beispiel Längenmessung

    Die Eigenschaft, die gemessen werden soll ist die Strecke , die sich zwischen Raumstellen bzw. zwischen Objekten im Raum erstreckt. Dies setzt voraus, daß die Gruppe von Untersuchern über einen Vorbegriff von Strecke zwischen zwei Raumstellen bzw. zwischen zwei Objekten verfügt. Es sei angenommen, daß die Gruppe der Untersucher wieder drei Personen umfaßt i* = {o_10*, ..., o_12*}, die das Vorliegen einer bestimmten Strecke durch Ablesen der Markierungen an einer Meßschnur o_13* bzw. o_14* bestimmen wollen.

    Im einzelnen soll gelten:
    • p_1* steht für 'ist ein metallischer Draht mit Markierungen in gleichmäßigen Abständen'
    • p_2* steht für 'ist ein metallischer Draht ausgespannt zwischen zwei Raumstellen bzw. Objekten'
    • p_3* steht für 'hat eine taktile und visuelle Wahrnehmung'
    • p_4* steht für 'ist eine Strecke zwischen zwei Raumstellen oder Objekten'
    • {(o_10*, {p_3*}), (o_11*, {p_3*}), (o_12*, {p_3*})}
    • (o_13*, {p_1*})
    • (o_14*, {p_1*})
    • MI(m_1*) mit m_1* = ((o_13*, {p_1*}), {p_4*})
    • MI(m_2*) mit m_2* = ((o_14*, {p_1*}), {p_4*})
    • Meßeinheit sei 'u_1*'
    Ein Meßvorgang besteht dann darin, daß die Untersucher i* eine Meßschnur zwischen zwei Raumstellen oder Objekten im Raum so ausspannen, daß eine der beiden Meßpunkte mit einem Ende der Meßschnur zusammenfällt. Dies soll heißen, daß dieses Ende der Meßschnur fixiert ist. Die zu messende Länge wird dann angegeben in Form der Anzahl der gezählten Markierungen vom fixierten Ende der Meßschnur bis zu der Stelle der ausgespannten Meßschnur, die mit dem anderen zu messenden Punkt zusammenfällt, verknüpft mit der Meßeinheit, die dem Meßgerät zugeordnet wurde. Wie schon in den vorausgehenden Beispielen wird auch hier angenommen, daß es eine eindeutige Zuordnungsvorschrift zwischen der Anzahl der Markierungen und den Zahlzeichen gibt. Im Fall der Längenmessung sind dies nur positive Zahlzeichen.

    Folgende Meß-Aussagen werden angenommen: DATA_3* = {
    1. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {c_1*, c_100* }),(n_100*,u_1*)>,nil)
      Wegen der besseren Lesbarkeit wird hier eine abkürzende Notation benutzt. Es ist zu lesen: Im Zeitintervall t* = (t_1*, t_10*) wird im Raumgebiet r_1* = {c_1*, c_200*, c_39800*, c_40000*} mit dem Meßgerät m_1* eine Messung an den Raumstellen c_1* und c_100* durch die Gruppe der Untersucher i* vorgenommen. Das Meßgerät zeigt den Wert n_100* mal u_1* an.

    2. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {c_100, c_39900 }),(n_200,u_1*)>,nil)

    3. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {c_1, c_10 }),(n_10,u_1*)>,nil)

    4. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_2*}, {c_1*, c_100* }),(n_10*,u_1*)>,nil)

    5. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_2*}, {c_100, c_39900 }),(n_20,u_1*)>,nil)

    6. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_2*}, {c_1, c_10 }),(n_1,u_1*)>,nil)
    }




    Restricted Use of Typed Ordering Relations


    		Wendet man die Ordnungsrelationen =_emt4 sowie <_emt4 mit der weiten Typisierung auf diese Meßwerte an, so kann man zwar eine Aussage machen wie die, daß die Strecke zwischen c_1* und c_100* mit (n_100*, u_1*)' <_emt4-kleiner ist als die Strecke zwischen c_100* und c_39900* mit (n_200*, u_1*), man könnte aber z.B. nicht behaupten, daß die Strecken zwischen c_1* und c_10* mit (n_10*, u_1*) =_emt4-gleich der Strecke c_1* und c_100* mit (n_10*, u_1*) sei. Ebenso könnte man nicht behaupten, daß die Strecke zwischen c_1* und c_10* mit (n_10*, u_1*) <_emt4-kleiner sei als die Strecke c_100* und c_39900* mit (n_20*, u_1*). In den beiden letzten Fällen ist dies deshalb nicht möglich, weil die Ordnungsrelationen =_emt4 sowie <_emt4 fordern, daß bis auf die Zahlenwerte alle anderen Werte gleich sein sollen. Diese Bedingung ist hier verletzt, da die zu vergleichenden Meßwerte mit unterschiedlichen Meßgeräten gewonnen wurden.


    Reference Length


    		Um die beiden Meßgeräte zu vergleichen, kann man eine Referenzstrecke L* = {c_1*, c_10*} einführen. Wendet man die beiden Meßgeräte darauf an, so bekommt man als Werte:
    1. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, L*),(n_10,u_1*)>,nil)

    2. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_2*}, L*),(n_1,u_1*)>,nil)
    Das Meßgerät m_1* liefert also einen Zahlenwert n_10*, der um den Faktor 'n_10*' <_n-größer ist als der Zahlenwert n_1* vom Meßgerät mit m_2*.


    Introducing and Applying a Transformation


    		An dieser Stelle kann man nun analog dem vorausgehenden Fall der Temperaturmessung eine Transformationsoperation einführen:

    F_r_scale(x,y) = subst*((a *_emt x),y) (a* != 0)
    Die Transformation umfaßt einen Zahlenanteil und einen Kontextfaktor y. Der Kontextfaktor macht jene Faktoren explizit, die in den beiden zu vergleichen Fällen verschieden sind. Im vorliegenden Fall ist dies die Art der verwendeten Meßgeräte, also y = (<m_1*>, <m_2*>). Im Wert der Transformation muß daher nicht nur der Zahlenwert entsprechend transformiert werden, sondern es muß auch der Kontextfaktor m_2* durch m_1* ersetzt werden. Wendet man die neueTransformation an, dann erhält man:

    F_r_scale((<t*, r_1*,i*, ({m_2*}, L*),(n_1, u_1*)>,nil), (<m_1*>, <m_2*>))

    =_n

    subst*((

    (<{nil* }, {nil* }*,{nil* }*, ({nil*}, {nil* }),(n_10,u_1*)>,nil)

    *_emt4

    (<t*, r_1*,i*, ({m_2*}, L*),(n_1, u_1*)>,nil) ),

    (<m_1*>, <m_2*>))

    Dies ergibt

    (<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, L*),(n_10, u_1*)>,nil)

    Dies ist genau der Wert, den m_1* gemessen hat:

    Würde man jetzt diese Transformation auf alle Werte anwenden, die mit m_2* gewonnen wurden, bekäme man die Werte, die man mit m_1* anhand der Normierung auf L* messen würde.


    Other Scales


    		Rein kombinatorisch lassen sich noch viele andere Skalentypen denken als die bislang genannten Intervall- und Verhältnisskalen. Ob weitere Skalentypen als die genannten notwendig sind, bleibt eine empirische Frage und hängt davon ab, ob Meßwerte auftreten, die sich mit einer neuen Skala vom Typ X adäquat behandeln lassen.
    INHALT