CHAPTER IV: Scientific Description of Reality
4.5. Interpreting Structures
4.5.2: A simple non-finite extension of a Measurement Theory




'95-Knowbot

(The english annotations below are only a rough characterization of the content of the german text)



KAPITEL IV: Wissenschaftliche Beschreibung der Wirklichkeit
4.5. Deutende Strukturen
4.5.2: Eine einfache nicht-endliche Erweiterung einer Meßtheorie



AUTHOR: Gerd Döben-Henisch
COAUTHOR: Joachim Hasebrook
DATE OF FIRST GENERATION: Febr 28, 1998
DATE OF LAST CHANGE: March 1, 1998
ADDRESS: INM - Institute for New Media, Frankfurt, Germany
EMAIL: doeb@inm.de
URL: INM
Copyright (c) Gerd Döben-Henisch
STATUS: Work in Progress
COOPERATION: Everybody is invited to share the discussions, to contribute with own ideas. The authors decide whether such contributions are accepted for incorporation in the final version.
    A simple mathematical structure which will be embedded in the measurement theory

    		Nach diesen Überlegungen zum Status nicht-endlicher Mengen soll jetzt ein sehr einfaches Beispiel betrachtet werden, in dem eine empirische Meßtheorie um eine einfache mathematische Struktur erweitert wird.

    Es sei GEO_2 eine einfache mathematische Struktur für die gilt:

    GEO_2(x) iff x = < O_geo2, R_geo2, A_geo2>

    mit

    1. O_geo2 = re
    2. R_geo2 = dist() & dist c re x re
    3. A_geo2 = {(A:a,b)(a,b in re x re => dist(a,b) = root(2,((pr1(a) - pr1(b))^2 + (pr2(a) - pr2(b))^2)))}
    (GEO_2 besteht aus der Menge der reellen Zahlen re, auf der eine Operation dist() definiert ist, die den Abstand von zwei Punkten in der Ebene bestimmt. Ein Punkt ist hier ein geordnetes Paar aus zwei reellen Zahlen, die Abschnitte auf zwei ausgezeichneten Achsen eines Koordinatensystems repräsentieren.)

    Diese einfache Struktur soll nun zu einer Meßtheorie hinzugefügt werden, um so z.B. die Berechnung von Abständen zwischen Punkten zu ermöglichen, ohne sie eigens messen zu müssen.

    The empirical measurement theory so far

    		Für die empirische Meßtheorie EMT1 galt bisher:
    1. EMT1(x) iff x = < O, R, A >
    2. O = < names, property, space, n10, unit >
    3. R = < obj, invest, context, dom_inv, time, in_space, on, subspace, mi, mop, dat_base, dat, <_t, =_n10, <_n10 >
    4. A = A_base u A_spec u A_dat
    5. A_base = {Ax_1, Ax_2, Ax_3, Ax_4, Ax_5, Ax_6}
    6. A_spec u A_dat = {nil}
    Wollte man die Struktur GEO_2 hier einfügen, müßte man die Meßtheorie zu einer Struktur erweitern, die neben den empirischen Elementen nun auch nicht-empirische Elemente enthalten würde. Wir nennen solch eine gemischte Struktur eine Theorie.

    Die Erweiterung soll in mehreren Schritten erfolgen.

    Ebedding the mathematical elements into the measurement theory demands additional mappings

    		Als ersten Schritt wird die Menge re den Objekten der Theorie als eine Hilfsmenge hinzugefügt, die Relation dist wird den Relationen zugeschlagen und das Axiom den speziellen Axiomen A_spec. Damit ergibt sich:
    1. T1(x) iff x = < O_t1, R_t1, A_t1 >
    2. O_t1 = < names, property, space, n10, unit, re >
    3. R_t1 = < obj, invest, context, dom_inv, time, in_space, on, subspace, mi, mop, dat_base, dat, <_t, =_n10, <_n10, dist >
    4. A_t1 = A_base u A_spec u A_dat
    5. A_base = {Ax_1, Ax_2, Ax_3, Ax_4, Ax_5, Ax_6}
    6. A_dat = {nil}
    7. A_spec = A_geo2
    Würde man es dabei belassen, dann könnte man zwardie Struktur GEO_2 innerhalb von T1 benutzen, aber es gäbe keinerlei Zusammenhang mit den anderen Komponenten von T1. Intendiert ist die Möglichkeit, die gemessenen Raumstellen mit Hilfe der theoretischen Relation dist() und dem zugehörigen Axiom A_geo2 berechnen zu können. Dazu muß man die gemessenen Raumstellen in Beziehung setzen zu der theoretischen Relation dist(). Dies geht nur über eine Typisierung. Da bisher gilt: dist c re x re, bestände eine Möglichkeit darin, daß man entweder zeigt: space c re, oder man definiert eine Abbildung f zwischen space und re derart, daß für alle x aus space gilt: f(x) in re.

    Enhancing the measurement theory with an empirical coordinate system and empirical rational numbers rat10

    		Eine Abbildung f wäre formal möglich, würde aber inhaltlich nur Sinn machen, wenn die implizite Voraussetzung für das Axiom A_geo2 erfüllt wäre, die darin besteht, daß das Vorhandensein eines Koordinatensystems vorausgesetzt wird. Da in T1 bislang nur Namen von Raumstellen ohne eine spezielle Ordnung analog der eines Koordinatensystems angenommen werden, wäre diese Voraussetzung nicht erfüllt.

    Im nächsten Schritt soll daher angenommen werden, daß im Untersuchungsgebiet drei ausgezeichnete Raumstellen mit Namen 'root', 'x_1' und 'y_1' existieren, die so angeordnet sind, daß zwei Meßdrähte d_1 und d_2 so ausgespannt werden können, daß d_1 von root zu x_1 und d_2 von root zu y_1 geht und beide zueinander in einem rechten Winkel stehen. Die durch d_1 repräsentierte Strecke soll die X-Achse relativ zu root und x_1 genannt werden und die durch d_2 repräsentierte Strecke die Y-Achse relativ zu root und y_1.

    Wenn Meßdrähte benutzt werden, um auf der X-Achse Abstände von root nach rechts von der schneidenden Y-Achse zu messen, dann sollen positive ganze oder rationale Zahlen benutzt werden (ebenso bei Meßdrähten von root oberhalb der X-Achse auf der Y-Achse). Bei der Messung auf der X-Achse von Abständen von root nach links von der schneidenen Y-Achse sollen negative ganze oder rationale Zahlen benutzt werden (ebenso bei Meßdrähten von root unterhalb der X-Achse auf der Y-Achse). root selbst bekommen die X- und Y-Werte 0.

    Mit diesen Verabredungen läßt sich ein Punkt im Untersuchungsraum nun relativ zu root, x_1 und y-1 durch die jeweiligen Abstände auf der X- bzw. Y-Achse angeben. Allerdings, wie fein auch immer die Beschreibung von Raumstellen anhand der verfügbaren Markierungen sein mag, sie wird prinzipiell endlich sein, d.h. es wird eine natürliche Zahl k geben, so daß der angebbare Dezimalbruch maximal die Form haben wird 'n.z_1 ... z_k', wobei n eine natürliche Zahl aus n10 sein wird und die d_i Zahlzeichen aus {0, ..., 9}. Endliche Dezimalbrüche entsprechen aber nur rationalen reellen Zahlen. Ein beschreibbarer (meßbarer) Punkt p hätte dann das Format p rat10 x rat10. Neben den rationalen reellen Zahlen gibt es aber auch noch irrationale reelle Zahlen, die zahlenmäßig um ein mehrfaches die Anzahl der rationalen reellen Zahlen übertreffen. Die irrationalen reellen Zahlen entsprechen nichtabbrechenden Dezimalbrüchen. Die Frage ist also, wie kann man die empirischen Raumpunkte mit den theoretischen Zahlen in Beziehung setzen?

    Additional partial mappings f_rat10_rat from rat10 onto rat and f_re_rat10 from re restricted to rat10 onto rat10

    		Die Kernfrage ist dann, wie sich rat10 in Form von endlichen Dezimalbrüchen zu re verhält? Man könnte eine Abbildung f_rat10_rat definieren, so daß jedem x aus rat10 eineindeutig ein f_rat10(x) aus rat zugeordnet würde, und da rat c re würden die empirischen Raumpunkte in den Bereich der Relation dist() gerückt.

    Angenommen (a,b) sei so ein empirischer Raumpunkt und (f_rat10(a), f_rat10(b)) sei die Abbildung dieses Punktes in die Menge der rationalen Zahlen und damit in die Menge re. dann könnte man dist() anwenden: dist((f_rat10(pr1(a)), f_rat10(pr2(a))), (f_rat10(pr1(b)), f_rat10(pr2(b))) ) = r mit r aus re. r könnte nun eine irrationale reelle Zahl sein. Damit wäre r nicht als empirische Zahl darstellbar. Daraus folgt allgemein: eine eineindeutigge Abbildung von re nach rat10 ist nicht möglich. Erst wenn man die irrationalen reellen Zahlen auf endliche Dezimalbrüche - und damit auf rationale Zahlen - reduziert, lassen sie sich wieder darstellen.

    Man benötigt also zwei Abbildungen:
    1. f_rat10_rat: rat10 --> rat
    2. f_re_rat10: re --> rat10
    Dies macht deutlich, daß der Einsatz von mathematischen Strukturen mit Zahlen mindestens so mächtig wie die reellen Zahlen im Kontext von empirischen Theorien prinzipiell beschränkt ist!

    The new theory T1

    		Hier die notwendige Erweiterung der Theorie T1:
    1. T1(x) iff x = < O_t1, R_t1, A_t1 >
    2. O_t1 = < names, property, n10, rat10, unit, re, n_length, r_length >

      (n_length und r_length sind Konstanten, die angeben, bis zu welcher 'Stellenzahlen' die empirischen Zahlen aus nat10 bzw. rat10 benutzt werden).

    3. R_t1 = < obj, invest, context, dom_inv, time, point, space, in_space, on, subspace, mi, mop, dat_base, dat, <_t, =_n10, <_n10, dist, f_rat10_rat, f_re_rat10 > mit den Typisierungen :
      • point c rat10 x rat10
      • space c point
      • f_rat10_rat: rat10 --> rat
      • f_re_rat10: re --> rat10


    4. A_t1 = A_base u A_spec u A_dat
    5. A_base = {Ax_1, Ax_2, Ax_3, Ax_4, Ax_5, Ax_6}
    6. A_dat = {nil}
    7. A_spec = A_geo2


    A forst simple application of the mathematical apparatus onto empirical data

    		Nehmen wir an, in A_dat lägen nun aufgrund von Messungen folgende Werte für Raumpunkte vor (vereinfachte Notation):

    A_dat ={(4.5, 3.7), (2.0, 2.0), (0,0), (1.0, 1.0), (1.0, 1.0)}

    dist((f_rat10_rat(0), f_rat10_rat(0)), (f_rat10_rat(1.0), f_rat10_rat(1.0)) = root(2, (f_rat10_rat(0) - f_rat10_rat(1.0))^2 + (f_rat10_rat(0) - f_rat10_rat(1.0))^2)

    ergibt

    = root(2,2) = 1.414213562...

    Nehmen wir an, daß die empirischen Zahlen nicht genauer als 1 Stelle hinter dem Komma gemessen werden können, dann würde r_length = 1 lauten und f_re_rat10(1.414213562...) = 1.4. das Kürzel '1.4' steht dann für unendlich viele verschiedene reelle Zahlen.

    INHALT