CHAPTER IV: Scientific Description
of Reality
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KAPITEL IV: Wissenschaftliche
Beschreibung der Wirklichkeit
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Infinite sets, talking
mathematicians, number theory |
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Da
Menschen - laut Arbeitshypothese - als endliche Systeme in
ihrem Handlungsraum immer nur mit endlichen Mengen von
Gegenständen operieren, können sogenannte nicht-endliche
Mengen eigentlich nur durch symbolische Prozesse 'ins Leben
treten', die mit Prozessen verbunden sind, die solche nicht-empirischen
nicht-endlichen Größen zu 'Gegenständen von
symbolischen Kommunikationsprozessen' machen. Dies geschieht in der Mathematik.
Ein Kernbereich der Mathematik ist die Zahlentheorie, in der über Gegenstände wie z.B. natürliche Zahlen [nat], ganze Zahlen [int], rationale Zahlen [rat], reelle Zahlen [re] oder komplexe Zahlen [compl] geredet wird. Für eine kompakte, aber dennoch hinreichend detaillierte Darstellung der Zahlentheorie und der Ziffernsysteme siehe REMMERT, Reinhold [1964], Zahlen. Ziffern und Ziffernsysteme, in: BEHNKE, H./ REMMERT, R./ STEINER, Hans-Georg/ TIETZ, Horst (eds), Mathematik 1, pp.309 - 371, Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt oder REINHARDT, Fritz/ SOEDER, Heinrich [1976, 2.ed], dtv-Atlas zur Mathematik, Bd.I, Grundlagen, Algebra und Geometrie, dtv Deutscher Taschenbuchverlag, München, bes. pp. 52-69 Eine hervorstechende Eigenschaft dieser Zahlenobjekte ist, daß sie ausnahmslos als abzählbar unendlich (im Fall von nat, int, rat) gelten bzw. gar als überabzählbar unendlich (im Fall von re und compl). Es stellt sich die Frage, was dies für den Kontext empirischer Meßtheorien bzw. - darauf aufbauend dann - für empirische Theorien überhaupt bedeutet. |
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Natural numbers, Peano-Axioms, settheoretical
language, signs without ontological interpretation |
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Betrachten
wir zuerst die Definition der natürlichen Zahlen nat,
die die Basis für die anderen genannten Zahlentypen bilden. In
Anlehnung an den Mathematiker PEANO sei hier folgende axiomatische
Charakterisierung gegeben: (Für alternative Darstellungen der natürlichen Zahlen sowie einige historische und metamathematische Bemerkungen siehe z.B. Kap.3 von Walter FELSCHER [1978] in seinem Buch Naive Mengen und abstrakte Zahlen I.)
Was heißt dies im Fall obiger Peano-Axiome? |
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Comments to PEANO1. |
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Zu
PEANO1: 'nat' ist eine Individuumkonstante, d.h. ein Name
für die Menge der natürlichen Zahlen, die durch die
Gesamtheit der Axiome beschrieben/ charakterisiert/ festgelegt/
definiert werden soll. Der Name 'nat' selbst ist nicht diese Menge.
Das Zeichen '1' ist ebenfalls eine Individuenkonstante, d.h. der Name
eines ganz bestimmten Elementes aus der durch nat bezeichneten Menge.
Von dem durch '1' bezeichneten Objekt wird gesagt, daß es zur
durch nat bezeichneten Menge gehören soll. |
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Comments to PEANO2, the
successor-function |
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Zu
PEANO2: Dieses Axiom benutzt das Zeichen 'nf()' und Zeichenschemata
wie '(A:x)' und '(E:y)'. Das Zeichen 'nf()' ist eine Funktionskonstante, die einen Operator/ eine Funktion bezeichnet. Funktionen sind Abbildungen/ Zuordnungen und von diesen gilt allgemein, daß sie, angewendet auf bestimmte Argumente, diesen jeweils einen eindeutigen Wert zuordnen. Die Operation 'nf()' hat den Namen Der Nachfolger von. Der Begriff des Nachfolgers wird in den PEANO-Axiomen nicht explizit, sondern nur implizit definiert, d.h. er wird so benutzt, daß durch die Art seiner Verwendung klar wird, daß nf() angewendet auf ein Element aus nat ein anderes Element aus nat zuordnet (PEANO2) und daß die Elemente, die nat() zuordnet, identisch sind, wenn die Ausgangselemente identisch sind (PEANO4). An dieser Stelle ist nur wichtig, daß man sich klar macht, daß aus diesen Angaben zu nf() nicht erschlossen werden kann, wie ein Nachfolger beschaffen ist; die Axiome sagen nur, daß es einen durch nf() eindeutig bestimmten Nachfolger gibt. Da 'nf()' eine konkrete Zeichenkette darstellt, die den Namen für die Nachfolgeroperation bildet und wir aufgrund der Axiome wissen, wie wir dieses Zeichen verwenden dürfen, könnte man an dieser Stelle immerhin die folgende Darstellung der natürlichen Zahlen geben: '1', 'nf(1)', 'nf(nf(1))' usw. '1' ist dann der Name einer bestimmten natürlichen Zahl und 'nf(1)' ist der Name für den aus '1' entstehenden Nachfolger, usw. |
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Universally quantified
variables, replacement through elements from a potentially countable
infinite set, hints for a solution of the finite-infinite paradox |
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Die
Zeichenkombination '(A:x)( ..... x .....)' stellt logisch eine Variable
x dar, die allquantifiziert ist. Dies besagt, daß man
für das Zeichen 'x' alle Einsetzungsinstanzen einsetzen
kann, die erlaubt sind, d.h. diese Einsetzungsinstanzen stehen
dann für diejenigen Objekte, die durch das Zeichen 'x' im
Aussageschema vertreten werden (In einer mengentheoretischen
Sprache gehören zu den erlaubten Einsetzungsinstanzen mindestens
alle Individuenkonstanten und alle Terme, und diese Menge gilt als
'höchstens abzählbar unendlich'). Wenn das Zeichen x dazu
benutzt werden soll, um eine nicht-endliche Menge von Objekten
zu bezeichnen, dann müßte die Menge der Einsetzungsinstanzen
entsprechend eine nicht-endliche Menge von unterscheidbaren Zeichen
umfassen, um dies einlösen zu können. Allerdings, nicht
auf einmal, d.h. bei einer bestimmten Einsetzung wird nur ein
einziger bestimmter Wert eingesetzt, allerdings ausgewählt
aus einer hinreichend großen Menge potentiall
überabzählbarer Einsetzungsinstanzen. In diesem Umstand liegt vielleicht ein erster Hinweis für eine mögliche Auflösung des auf den ersten Blick gegebenen Paradoxes, daß ein endliches System mit nicht-endlichen Größen operieren soll: aktuell muß ein mathematischer Zeichenbenutzer nicht nicht-endliche Mengen von Instanzen bewältigen. Er muß nur wissen, wie er gegenüber einer vorher schon eingesetzten endlichen Menge von Instanzen noch eine zusätzliche Instanz erzeugen kann, die sich von allen bisherigen unterscheidet. |
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Using mathematical signs does
never lead beyond the signs. |
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Schon
diese wenigen Überlegungen zeigen uns, daß die
Unterstellung von der Existenz nicht-endlicher Mengen aus der Nähe
betrachtet möglicherweise ein Artefakt des mathematischen
Sprechens ist. Denn ein Mathematiker, der mittels einer mengentheoretischen Sprache L_set und den Peano-Axiomen über die Menge der natürlichen Zahlen spricht, operiert nicht tatsächlich mit einer aktuell nicht-endlichen Gegenstandsmenge, sondern er benutzt endlich viele Zeichen und endliche Handlungsanweisungen im Umgang mit endlich vielen Zeichen, um mittels Namen über Gegenstände ('Zahlen') zu sprechen, über deren Existenz jenseits der bezeichnenden Namen nichts festgelegt ist. Mit Hilfe dieser Namen kann man zwar unter Benutzung der Peano-Axiome und der Mengenlehre allgemeine Aussagen konstruieren, doch führen diese Aussagen niemals aus dem Bereich der endlichen Zeichenoperationen hinaus. Dies wird schlagartig deutlich, wenn man mit natürlichen Zahlen in der realen Welt der Körper rechnen will, z.B. addieren und multiplizieren. |
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A grounding of the theoretical
numbers by mapping them to an empirical system of number-signs |
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Als
erstes muß man eine Deutung dafür geben, auf welche
Weise natürliche Zahlen in der Realität dargestellt/
repräsentiert werden soll, insbesondere wird man angeben
müssen, durch welche konkrete Operation die Nachfolgeroperation
nf() zu realisieren ist, sonst scheitert der konkrete Umgang mit den
natürlichen Zahlen schon an dem Hindernis, immer längere
Zeichenketten der Art 'nf(nf(.......nf(1)......))' hinschreiben zu
müssen. Wollte man die uns vertraute, auf dem Zehnersystem basierende, Zahlendarstellung mit dem Konzept der natürlichen Zahlen verknüpfen, dann könnte man schreiben: 1 <--> 1 2 <--> nf(1) 3 <--> nf(nf(1)) 4 <--> ... usw. Niemand wird alle natürlichen Zahlen tatsächlich hinschreiben wollen bzw. können. Wir wissen nur, wie es gemacht würde, d.h. wir lernen eine endliche Handlungsanweisung, deren Inhalt darin besteht, endlich viele Zeichenobjekte so anzuordnen, daß daraus auf der rechten Seite Zeichenketten der Art 'nf(nf(...nf(1)...))' entstehen und auf der linken Seite Zeichenketten der Art '1', ...'11', ..., '190'... usf. |
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Mapping the theoretical numbers
to the empirical number system n10, potential infinity is countable
infinite or 'realizable' infinite |
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Im
vorausgehenden Abschnitt über das Messen wurde exemplarisch
angenommen, daß Untersucher in der Lage sind, ein empirisches
System von Zahlzeichen einzuführen, das genau der Menge der
Zahlzeichen entspricht, das oben auf der linken Seite angedeutet wurde
als jene Zeichenmenge, mittels der die natürlichen Zahlen nat der
Theorie im endlichen Raum repräsentiert werden sollen. Das empirische
System der natürlichen Zahlen wurde dort n10 genannt. Was hier versucht wird ist also eine Abbildung der natürlichen Zahlen nat in die empirischen Zahlen nat10. Die Zuordnung ist mechanisch:
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Everyday situations reveal
subjective structures in speaker-hearers which are responsible for the
establishment of non-local concepts |
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Wenn
man in einer Gruppe von Untersuchern das konkrete Verfahren der
Nachfolgerkonstruktion als Operation mit einer Zeichenkette
erklärt (also Z sei eine aktuelle Zahl und man füge dann die
Zeichen 'nf(' links und ')' rechts an Z an, so daß man 'nf(Z)'
erhält, und dies so oft man will, dann werden
normalerweise alle Zustimmung äußern und Verhaltenstests
werden zeigen, daß jeder in der Lage ist, solche Operationen
auszuführen. Zugleich wird der Eindruck entstehen, als ob jeder versteht,
was damit gemeint ist, daß man das Verfahren beliebig oft
wiederholen kann. Da sich dieses beliebig oft nicht in der
Realität der Körperwelt abspielt, sondern nur im Verstehen
der beteiligten Untersucher, muß man aus empirischer Sicht sagen,
daß eine wesentliche Eigenschaft am Begriff der unendlichen
Ausdehnung der Menge der empirisch erzeugbaren natürlichen Zahlen
nur in Form einer subjektiven Eigenschaft der Untersucher
existiert, nämlich in dem, was hier vage Verstehen genannt
wird. M.a.W. die beteiligten Untersucher sind in der Lage, im Kopf
das Konzept einer abzählbaren (= ausführbaren)
unendlichen (= nicht abbrechenden) Menge zu bilden, das sie verstehen,
das ihnen einleuchtet, mit dessen Hilfe sie die konkreten
Operationen interpretieren, ohne daß dieses subjektive
Konzept als Gegenstand der Körperwelt aufzeigbar ist. |
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Poincaré about the nature
of mathematical thinking |
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In
dem Aufsatz Sur la Nature du Raisonnement mathématique
stellt Henry POINCARÉ 1894 (Neuabdruck 1902, engl. 1907) am
Beispiel der elementaren Arithmetik fest, daß die Formalisierung
der Mathematik nicht dahingehend mißverstanden werden dürfe,
daß Mathematik sich damit auf pure logische Tautologien
reduziere. Vielmehr muß man der Mathematik eine kreative
Kraft (creative virtue) zugestehen (Abschnitt I). Am Beispiel der
rekursiven Definition der Addition, der Multiplikation und der
Begründung der Eigenschaft der Assoziativität und
Kommutativität von Addition und Multiplikation sowie der
Distributivität zwischen beiden zeigt er auf, daß es in all
diesen Beispielen einen Mechanismus gibt, der in allen wirksam
ist, und den er als rekursiven Beweis bezeichnet (Abschnitt
II-IV). Ein rekursiver Beweis enthält in einer einzigen Formel unendlich
viele einzelne Syllogismen in einer Weise, daß das Ergebnis
des einen Syllogismus die Prämisse des nächsten ist
(Abschnitt V). Und er meint "But however far we went we should
never reach the general theorem applicable to all numbers which alone
is the object of science" (Abschnitt V). Und er ergänzt: "This
rule, inaccessible to analytical proof and to experiment, is the exact
type of the a priori synthetic intuition. On the other hand, we cannot
see in it a convention as in the case of the postulates of geometry."
und er ergänzt "It is ... only the affirmation of the power of
the mind which knows it can conceive of the indefinite repetition of
the same act, when the act is once possible. The mind has a direct
intuition of this power, and experiment can only be a for it an
opportunity of using it, and thereby of becoming conscious of it."
(Abschnitt VI). und Poincaré zieht daraus den Schluß,
daß das Besondere der Mathematik darin liegt, daß sie
aufgrund des Rekursionsprinzips in der Lage ist, unter Voraussetzung
der Kraft zum Allgemeinen von Einzelfällen konstruktiv zu
allgemeineren Fällen vorwärts schreiten kann (vgl. Abschnitt
VI). |
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Restating the importance of
sibjective structures due to the biological heritage off homo sapiens Stating a working hypothesis from the point of view of epistemology |
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Die
Überlegungen von Poincaré weisen einen unmittelbaren
Bezug zum Problem der unendlichen Ausführung auf. Denn
poincaré stellt in seinen Überlegungen darauf ab, daß
die subjektive Evidenz dafür, daß die
Ausführung eines Handlungsschemas sich in eine verallgemeinerte
Unendlichkeit übersetzen läßt, sich nicht durch die
Häufigkeit der Wiederholung von Einzelaktionen begründet,
sondern dadurch, daß Untersucher individuell über eine subjektive
Struktur verfügen (die zudem - das folgt implizit - gattungsspezifisch
sein muß), die sie instand setzt, von beliebigen
Einzelfällen auf einen allgemeinen Prozeß zu verallgemeinern.
Und diese Verallgemeinerung soll damit zu zun haben, daß der
einzelne Untersucher a priori über Schemata
verfügen kann, in die er konkrete Einzelfälle einsetzen
kann, so daß zwischen unverbundenen Einzelfällen ein potentiell
aktivierbarer Zusammenhang sichtbar wird. Auch wenn wir bis heute eigentlich nicht genau wissen, was es heißt, daß ein Mensch versteht, Einsichten hat, verallgemeinert, spezialisiert usw., weil wir das subjektive Erleben bislang nicht hinreichend von den zugrundeliegenden Mechanismen her empirisch-phänomenologisch (siehe dazu später mehr) erklären können, so legen die verhaltensrelevanten Tatsachen (einschließlich der Art des Zeichengebrauchs) sowie die erlebnismäßig zugänglichen Strukturen zumindest die Arbeitshypothese nahe, solch eine biologisch vorgegebene (a priorische) Fähigkeit zum Umgang mit Schemata im Kontext von aktuellen Wahrnehmungen anzunehmen. Eine erste Formulierung solch einer erkenntnistheoretischen Arbeitshypothese könnte in etwa lauten: (ET-AH-SCHEMATA:) Wesen der Gattung homo sapiens verfügen im Normalzustand über die interne Fähigkeit, Wahrnehmungsereignisse mit intern verfügbaren Schemata derart zu verknüpfen, daß die offenen Stellen (Kategorien/ Variablen/ Slots...) dieser Schemata durch klassifizierte Wahrnehmungsereignisse ersetzt werden können. Aus der Innensicht bekommen solcherart konkret gedeutete Schemata den epistemischen Status von ist eine gegebene/ mögliche Beziehung und ist als solche evident. Elementare Schemata lassen sich zu Komplexen Schemata verknüpfen. (ET-AH-SEMIOTISIERUNG:) Alle bewußten kognitiven Tatbestände lassen sich semiotisieren. Diese zugegebenermaßen noch recht allgemeine Fassung würde aber schon ausreichen, um die bisherigen Fakten zu erklären. Es fragt sich, ob dies eine interessante sprich fruchtbare Erklärung darstellt. Dazu sollen noch ein paar weitere Beispiele betrachtet werden. |
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