CHAPTER IV: Scientific Description of Reality
4.5. Interpreting Structures
4.5.1A: The Status of Non-Finite Sets





'95-Knowbot

(The english annotations below are only a rough characterization of the content of the german text)





KAPITEL IV: Wissenschaftliche Beschreibung der Wirklichkeit
4.5. Deutende Strukturen
4.5.1A: Der Status nicht-endlicher Mengen




AUTHOR: Gerd Döben-Henisch
COAUTHOR: Joachim Hasebrook
DATE OF FIRST GENERATION: Febr 18, 1998
DATE OF LAST CHANGE: Febr 27, 1998
ADDRESS: INM - Institute for New Media, Frankfurt, Germany
EMAIL: doeb@inm.de
URL: INM
Copyright (c) Gerd Döben-Henisch
STATUS: Work in Progress
COOPERATION: Everybody is invited to share the discussions, to contribute with own ideas. The authors decide whether such contributions are accepted for incorporation in the final version.


    Infinite sets, talking mathematicians, number theory


    Da Menschen - laut Arbeitshypothese - als endliche Systeme in ihrem Handlungsraum immer nur mit endlichen Mengen von Gegenständen operieren, können sogenannte nicht-endliche Mengen eigentlich nur durch symbolische Prozesse 'ins Leben treten', die mit Prozessen verbunden sind, die solche nicht-empirischen nicht-endlichen Größen zu 'Gegenständen von symbolischen Kommunikationsprozessen' machen. Dies geschieht in der Mathematik.

    Ein Kernbereich der Mathematik ist die Zahlentheorie, in der über Gegenstände wie z.B. natürliche Zahlen [nat], ganze Zahlen [int], rationale Zahlen [rat], reelle Zahlen [re] oder komplexe Zahlen [compl] geredet wird.

    Für eine kompakte, aber dennoch hinreichend detaillierte Darstellung der Zahlentheorie und der Ziffernsysteme siehe REMMERT, Reinhold [1964], Zahlen. Ziffern und Ziffernsysteme, in: BEHNKE, H./ REMMERT, R./ STEINER, Hans-Georg/ TIETZ, Horst (eds), Mathematik 1, pp.309 - 371, Fischer Taschenbuch Verlag, Frankfurt oder REINHARDT, Fritz/ SOEDER, Heinrich [1976, 2.ed], dtv-Atlas zur Mathematik, Bd.I, Grundlagen, Algebra und Geometrie, dtv Deutscher Taschenbuchverlag, München, bes. pp. 52-69

    Eine hervorstechende Eigenschaft dieser Zahlenobjekte ist, daß sie ausnahmslos als abzählbar unendlich (im Fall von nat, int, rat) gelten bzw. gar als überabzählbar unendlich (im Fall von re und compl). Es stellt sich die Frage, was dies für den Kontext empirischer Meßtheorien bzw. - darauf aufbauend dann - für empirische Theorien überhaupt bedeutet.


    Natural numbers, Peano-Axioms, settheoretical language, signs without ontological interpretation


    Betrachten wir zuerst die Definition der natürlichen Zahlen nat, die die Basis für die anderen genannten Zahlentypen bilden. In Anlehnung an den Mathematiker PEANO sei hier folgende axiomatische Charakterisierung gegeben:

    (Für alternative Darstellungen der natürlichen Zahlen sowie einige historische und metamathematische Bemerkungen siehe z.B. Kap.3 von Walter FELSCHER [1978] in seinem Buch Naive Mengen und abstrakte Zahlen I.)
    1. PEANO1: 1 ist in nat

    2. PEANO2: (A:x)( x in nat => (E:y)( y = nf(x) & y in nat))

    3. PEANO3: (A:y,x)( y = nf(x) => y != 1)

    4. PEANO4: (A:x,y)( x,y in Nat & nf(x) = nf(y) => x= y)

    5. PEANO5: (A:m )(1* in m & (A:x)( x in m => nf(x) in m) => nat c m)
    Diese Axiome sind in einer bestimmten Sprache L abgefaßt, die aufgrund der verwendeten Zeichen als mengentheoretische Sprache L_set identifizierbar ist. Innerhalb einer formalen Sprache wie der mengentheoretischen haben alle benutzten nichtlogischen Zeichen entweder keine spezifische Bedeutung oder aber sie sind potentielle Namen für etwas anderes oder Platzhalter (Variablen) für Namen. Eine Interpretation dieser Zeichen gehört nicht eigentlich zur mengentheoretischen Sprache, auch wenn die Redeweise von Mathematiker den Eindruck erwecken können, als ob diese den Gebrauch der mengentheoretischen Zeichen mit Gedankendingen wie 'Mengen' und deren Eigenschaften verknüpfen. Was auch immer ein Mathematiker denken mag, seine mathematischen Denkinhalte sind nur soweit für einen anderen sichtbar, als er diese mit Hilfe von geeigneten Zeichensystemen bezüglich der mathematisch relevanten Eigenschaften repräsentieren und dadurch kommunizieren kann.

    Was heißt dies im Fall obiger Peano-Axiome?


    Comments to PEANO1.


    Zu PEANO1: 'nat' ist eine Individuumkonstante, d.h. ein Name für die Menge der natürlichen Zahlen, die durch die Gesamtheit der Axiome beschrieben/ charakterisiert/ festgelegt/ definiert werden soll. Der Name 'nat' selbst ist nicht diese Menge. Das Zeichen '1' ist ebenfalls eine Individuenkonstante, d.h. der Name eines ganz bestimmten Elementes aus der durch nat bezeichneten Menge. Von dem durch '1' bezeichneten Objekt wird gesagt, daß es zur durch nat bezeichneten Menge gehören soll.


    Comments to PEANO2, the successor-function


    Zu PEANO2: Dieses Axiom benutzt das Zeichen 'nf()' und Zeichenschemata wie '(A:x)' und '(E:y)'.

    Das Zeichen 'nf()' ist eine Funktionskonstante, die einen Operator/ eine Funktion bezeichnet. Funktionen sind Abbildungen/ Zuordnungen und von diesen gilt allgemein, daß sie, angewendet auf bestimmte Argumente, diesen jeweils einen eindeutigen Wert zuordnen. Die Operation 'nf()' hat den Namen Der Nachfolger von. Der Begriff des Nachfolgers wird in den PEANO-Axiomen nicht explizit, sondern nur implizit definiert, d.h. er wird so benutzt, daß durch die Art seiner Verwendung klar wird, daß nf() angewendet auf ein Element aus nat ein anderes Element aus nat zuordnet (PEANO2) und daß die Elemente, die nat() zuordnet, identisch sind, wenn die Ausgangselemente identisch sind (PEANO4).

    An dieser Stelle ist nur wichtig, daß man sich klar macht, daß aus diesen Angaben zu nf() nicht erschlossen werden kann, wie ein Nachfolger beschaffen ist; die Axiome sagen nur, daß es einen durch nf() eindeutig bestimmten Nachfolger gibt. Da 'nf()' eine konkrete Zeichenkette darstellt, die den Namen für die Nachfolgeroperation bildet und wir aufgrund der Axiome wissen, wie wir dieses Zeichen verwenden dürfen, könnte man an dieser Stelle immerhin die folgende Darstellung der natürlichen Zahlen geben: '1', 'nf(1)', 'nf(nf(1))' usw. '1' ist dann der Name einer bestimmten natürlichen Zahl und 'nf(1)' ist der Name für den aus '1' entstehenden Nachfolger, usw.


    Universally quantified variables, replacement through elements from a potentially countable infinite set, hints for a solution of the finite-infinite paradox


    Die Zeichenkombination '(A:x)( ..... x .....)' stellt logisch eine Variable x dar, die allquantifiziert ist. Dies besagt, daß man für das Zeichen 'x' alle Einsetzungsinstanzen einsetzen kann, die erlaubt sind, d.h. diese Einsetzungsinstanzen stehen dann für diejenigen Objekte, die durch das Zeichen 'x' im Aussageschema vertreten werden (In einer mengentheoretischen Sprache gehören zu den erlaubten Einsetzungsinstanzen mindestens alle Individuenkonstanten und alle Terme, und diese Menge gilt als 'höchstens abzählbar unendlich'). Wenn das Zeichen x dazu benutzt werden soll, um eine nicht-endliche Menge von Objekten zu bezeichnen, dann müßte die Menge der Einsetzungsinstanzen entsprechend eine nicht-endliche Menge von unterscheidbaren Zeichen umfassen, um dies einlösen zu können. Allerdings, nicht auf einmal, d.h. bei einer bestimmten Einsetzung wird nur ein einziger bestimmter Wert eingesetzt, allerdings ausgewählt aus einer hinreichend großen Menge potentiall überabzählbarer Einsetzungsinstanzen.

    In diesem Umstand liegt vielleicht ein erster Hinweis für eine mögliche Auflösung des auf den ersten Blick gegebenen Paradoxes, daß ein endliches System mit nicht-endlichen Größen operieren soll: aktuell muß ein mathematischer Zeichenbenutzer nicht nicht-endliche Mengen von Instanzen bewältigen. Er muß nur wissen, wie er gegenüber einer vorher schon eingesetzten endlichen Menge von Instanzen noch eine zusätzliche Instanz erzeugen kann, die sich von allen bisherigen unterscheidet.


    Using mathematical signs does never lead beyond the signs.


    Schon diese wenigen Überlegungen zeigen uns, daß die Unterstellung von der Existenz nicht-endlicher Mengen aus der Nähe betrachtet möglicherweise ein Artefakt des mathematischen Sprechens ist.

    Denn ein Mathematiker, der mittels einer mengentheoretischen Sprache L_set und den Peano-Axiomen über die Menge der natürlichen Zahlen spricht, operiert nicht tatsächlich mit einer aktuell nicht-endlichen Gegenstandsmenge, sondern er benutzt endlich viele Zeichen und endliche Handlungsanweisungen im Umgang mit endlich vielen Zeichen, um mittels Namen über Gegenstände ('Zahlen') zu sprechen, über deren Existenz jenseits der bezeichnenden Namen nichts festgelegt ist. Mit Hilfe dieser Namen kann man zwar unter Benutzung der Peano-Axiome und der Mengenlehre allgemeine Aussagen konstruieren, doch führen diese Aussagen niemals aus dem Bereich der endlichen Zeichenoperationen hinaus.

    Dies wird schlagartig deutlich, wenn man mit natürlichen Zahlen in der realen Welt der Körper rechnen will, z.B. addieren und multiplizieren.


    A grounding of the theoretical numbers by mapping them to an empirical system of number-signs


    Als erstes muß man eine Deutung dafür geben, auf welche Weise natürliche Zahlen in der Realität dargestellt/ repräsentiert werden soll, insbesondere wird man angeben müssen, durch welche konkrete Operation die Nachfolgeroperation nf() zu realisieren ist, sonst scheitert der konkrete Umgang mit den natürlichen Zahlen schon an dem Hindernis, immer längere Zeichenketten der Art 'nf(nf(.......nf(1)......))' hinschreiben zu müssen.

    Wollte man die uns vertraute, auf dem Zehnersystem basierende, Zahlendarstellung mit dem Konzept der natürlichen Zahlen verknüpfen, dann könnte man schreiben:

    1 <--> 1

    2 <--> nf(1)

    3 <--> nf(nf(1))

    4 <--> ...

    usw.

    Niemand wird alle natürlichen Zahlen tatsächlich hinschreiben wollen bzw. können. Wir wissen nur, wie es gemacht würde, d.h. wir lernen eine endliche Handlungsanweisung, deren Inhalt darin besteht, endlich viele Zeichenobjekte so anzuordnen, daß daraus auf der rechten Seite Zeichenketten der Art 'nf(nf(...nf(1)...))' entstehen und auf der linken Seite Zeichenketten der Art '1', ...'11', ..., '190'... usf.


    Mapping the theoretical numbers to the empirical number system n10, potential infinity is countable infinite or 'realizable' infinite


    Im vorausgehenden Abschnitt über das Messen wurde exemplarisch angenommen, daß Untersucher in der Lage sind, ein empirisches System von Zahlzeichen einzuführen, das genau der Menge der Zahlzeichen entspricht, das oben auf der linken Seite angedeutet wurde als jene Zeichenmenge, mittels der die natürlichen Zahlen nat der Theorie im endlichen Raum repräsentiert werden sollen. Das empirische System der natürlichen Zahlen wurde dort n10 genannt.

    Was hier versucht wird ist also eine Abbildung der natürlichen Zahlen nat in die empirischen Zahlen nat10. Die Zuordnung ist mechanisch:
    1. Ordne der theoretischen '1' die empirische '1' zu.
    2. Jedesmal, wenn auf eine theoretische natürliche Zahl die nf()-Operation angewendet wird, dann wende auf die empirische natürliche Zahl die empirische Nachfolgererzeugung an (siehe dort).
    Man kann die theoretischen natürlichen Zahlen auf diese Weise durch empirische natürliche Zahlen abzählen. Dadurch, daß man zu jeder theoretischen natürlichen Zahl einen Nachfolger bilden kann, ist die Menge der natürlichen Zahlen potentiell unendlich. Da aber auch zu jeder empirischen natürlichen Zahl ein empirischer Nachfolger erzeugt werden kann, sind auch die empirischen natürlichen Zahlen ausführbar unendlich und damit die gesamte Menge nat bzw. nat10 sowohl abzählbar als auch unendlich.


    Everyday situations reveal subjective structures in speaker-hearers which are responsible for the establishment of non-local concepts


    Wenn man in einer Gruppe von Untersuchern das konkrete Verfahren der Nachfolgerkonstruktion als Operation mit einer Zeichenkette erklärt (also Z sei eine aktuelle Zahl und man füge dann die Zeichen 'nf(' links und ')' rechts an Z an, so daß man 'nf(Z)' erhält, und dies so oft man will, dann werden normalerweise alle Zustimmung äußern und Verhaltenstests werden zeigen, daß jeder in der Lage ist, solche Operationen auszuführen. Zugleich wird der Eindruck entstehen, als ob jeder versteht, was damit gemeint ist, daß man das Verfahren beliebig oft wiederholen kann. Da sich dieses beliebig oft nicht in der Realität der Körperwelt abspielt, sondern nur im Verstehen der beteiligten Untersucher, muß man aus empirischer Sicht sagen, daß eine wesentliche Eigenschaft am Begriff der unendlichen Ausdehnung der Menge der empirisch erzeugbaren natürlichen Zahlen nur in Form einer subjektiven Eigenschaft der Untersucher existiert, nämlich in dem, was hier vage Verstehen genannt wird. M.a.W. die beteiligten Untersucher sind in der Lage, im Kopf das Konzept einer abzählbaren (= ausführbaren) unendlichen (= nicht abbrechenden) Menge zu bilden, das sie verstehen, das ihnen einleuchtet, mit dessen Hilfe sie die konkreten Operationen interpretieren, ohne daß dieses subjektive Konzept als Gegenstand der Körperwelt aufzeigbar ist.


    Poincaré about the nature of mathematical thinking


    In dem Aufsatz Sur la Nature du Raisonnement mathématique stellt Henry POINCARÉ 1894 (Neuabdruck 1902, engl. 1907) am Beispiel der elementaren Arithmetik fest, daß die Formalisierung der Mathematik nicht dahingehend mißverstanden werden dürfe, daß Mathematik sich damit auf pure logische Tautologien reduziere. Vielmehr muß man der Mathematik eine kreative Kraft (creative virtue) zugestehen (Abschnitt I). Am Beispiel der rekursiven Definition der Addition, der Multiplikation und der Begründung der Eigenschaft der Assoziativität und Kommutativität von Addition und Multiplikation sowie der Distributivität zwischen beiden zeigt er auf, daß es in all diesen Beispielen einen Mechanismus gibt, der in allen wirksam ist, und den er als rekursiven Beweis bezeichnet (Abschnitt II-IV). Ein rekursiver Beweis enthält in einer einzigen Formel unendlich viele einzelne Syllogismen in einer Weise, daß das Ergebnis des einen Syllogismus die Prämisse des nächsten ist (Abschnitt V). Und er meint "But however far we went we should never reach the general theorem applicable to all numbers which alone is the object of science" (Abschnitt V). Und er ergänzt: "This rule, inaccessible to analytical proof and to experiment, is the exact type of the a priori synthetic intuition. On the other hand, we cannot see in it a convention as in the case of the postulates of geometry." und er ergänzt "It is ... only the affirmation of the power of the mind which knows it can conceive of the indefinite repetition of the same act, when the act is once possible. The mind has a direct intuition of this power, and experiment can only be a for it an opportunity of using it, and thereby of becoming conscious of it." (Abschnitt VI). und Poincaré zieht daraus den Schluß, daß das Besondere der Mathematik darin liegt, daß sie aufgrund des Rekursionsprinzips in der Lage ist, unter Voraussetzung der Kraft zum Allgemeinen von Einzelfällen konstruktiv zu allgemeineren Fällen vorwärts schreiten kann (vgl. Abschnitt VI).


    Restating the importance of sibjective structures due to the biological heritage off homo sapiens

    Stating a working hypothesis from the point of view of epistemology


    Die Überlegungen von Poincaré weisen einen unmittelbaren Bezug zum Problem der unendlichen Ausführung auf. Denn poincaré stellt in seinen Überlegungen darauf ab, daß die subjektive Evidenz dafür, daß die Ausführung eines Handlungsschemas sich in eine verallgemeinerte Unendlichkeit übersetzen läßt, sich nicht durch die Häufigkeit der Wiederholung von Einzelaktionen begründet, sondern dadurch, daß Untersucher individuell über eine subjektive Struktur verfügen (die zudem - das folgt implizit - gattungsspezifisch sein muß), die sie instand setzt, von beliebigen Einzelfällen auf einen allgemeinen Prozeß zu verallgemeinern. Und diese Verallgemeinerung soll damit zu zun haben, daß der einzelne Untersucher a priori über Schemata verfügen kann, in die er konkrete Einzelfälle einsetzen kann, so daß zwischen unverbundenen Einzelfällen ein potentiell aktivierbarer Zusammenhang sichtbar wird.

    Auch wenn wir bis heute eigentlich nicht genau wissen, was es heißt, daß ein Mensch versteht, Einsichten hat, verallgemeinert, spezialisiert usw., weil wir das subjektive Erleben bislang nicht hinreichend von den zugrundeliegenden Mechanismen her empirisch-phänomenologisch (siehe dazu später mehr) erklären können, so legen die verhaltensrelevanten Tatsachen (einschließlich der Art des Zeichengebrauchs) sowie die erlebnismäßig zugänglichen Strukturen zumindest die Arbeitshypothese nahe, solch eine biologisch vorgegebene (a priorische) Fähigkeit zum Umgang mit Schemata im Kontext von aktuellen Wahrnehmungen anzunehmen.

    Eine erste Formulierung solch einer erkenntnistheoretischen Arbeitshypothese könnte in etwa lauten:

    (ET-AH-SCHEMATA:) Wesen der Gattung homo sapiens verfügen im Normalzustand über die interne Fähigkeit, Wahrnehmungsereignisse mit intern verfügbaren Schemata derart zu verknüpfen, daß die offenen Stellen (Kategorien/ Variablen/ Slots...) dieser Schemata durch klassifizierte Wahrnehmungsereignisse ersetzt werden können. Aus der Innensicht bekommen solcherart konkret gedeutete Schemata den epistemischen Status von ist eine gegebene/ mögliche Beziehung und ist als solche evident. Elementare Schemata lassen sich zu Komplexen Schemata verknüpfen.

    (ET-AH-SEMIOTISIERUNG:) Alle bewußten kognitiven Tatbestände lassen sich semiotisieren.

    Diese zugegebenermaßen noch recht allgemeine Fassung würde aber schon ausreichen, um die bisherigen Fakten zu erklären. Es fragt sich, ob dies eine interessante sprich fruchtbare Erklärung darstellt. Dazu sollen noch ein paar weitere Beispiele betrachtet werden.



    INHALT