CHAPTER IV: Scientific Description of Reality
4.4. Simple Empirical Scales
4.4.4: Empirical Interval Scales





'95-Knowbot

(The english annotations below are only a rough characterization of the content of the german text)





KAPITEL IV: Wissenschaftliche Beschreibung der Wirklichkeit
4.4. Einfache Empirische Skalen
4.4.4: Empirische Intervallskalen




AUTHOR: Gerd Döben-Henisch
COAUTHOR: Joachim Hasebrook
DATE OF FIRST GENERATION: Febr 16, 1998
DATE OF LAST CHANGE: Febr 17, 1998
ADDRESS: INM - Institute for New Media, Frankfurt, Germany
EMAIL: doeb@inm.de
URL: INM
Copyright (c) Gerd Döben-Henisch
STATUS: Work in Progress
COOPERATION: Everybody is invited to share the discussions, to contribute with own ideas. The authors decide whether such contributions are accepted for incorporation in the final version.


    Common Usage: Scales


    Das Reden von einer Skala setzt normalerweise das Vorhandensein von Mengen von Objekten O voraus, auf denen eine Ordnung R definiert ist und relativ dazu eine Transformationsoperation F auf O, die die Ordnung R bewahrt.

    Sei M eine Meßoperation, die einem Objekt x aus der Menge O einen (Meß-)Wert M(x) zuordnet. Dann läßt sich - z.B. unter Voraussetzung einer Arithmetik - eine Intervallskala definieren durch die beiden Forderungen:
    1. F_i_scale(x) = a * M(x) + b (b != 0)
      Wenn man den Meßwert M(x) mit einer Konstanten a multipliziert und dazu eine Konstante b addiert, die größer 0 ist, dann erhält man einen F_i_scale_-transformierten Meßwert von x.

    2. (A:x,y)(x,y in O => [M(x) =_arithm M(y) <=> F_i_scale(x) =_arithm F_i_scale(y)]) &
      [M(x) <_arithm M(y) <=> F_i_scale(x) <_arithm F_i_scale(y)])
      Wenn die beiden Meßwerte M(x) und M(y) arithmetisch gleich sind, dann sind auch die beiden F_i_scale-transformierten Meßwerte arithmetisch gleich, ebenso im Fall von arithmetisch 'kleiner als' (<_arithm).
    Eine Verhältnisskala ist ein Spezialfall einer Intervallskala, da gilt:
    1. F_r_scale(x) = a * M(x) + b (b = 0)



    Scales without Mathematics?


    Nach den vorausgehenden Kapiteln stellt sich die frage, ob sich solche Strukturen auch mit rein empirischen Mitteln einführen lassen. Dies würde bedeuten, daß die benutzten Mengen an Objekten oder Zeichen endliche Mengen sein müssen. Diese Vorgehensweise wird im Folgenden ausprobiert.


    Example: Intervall Scale


    Beispiel Temperatur (Intervallskala)

    Die Eigenschaft, die gemessen werden soll ist die Temperatur von Körpern, Flüssigkeiten oder Gasen. Durch ihre vorwissenschaftliche Welterfahrung hat eine Gruppe von Untersuchern einen Vorbegriff von Temperatur. Es sei angenommen, daß die Gruppe der Untersucher drei Personen umfaßt i* = {(o_10*, {p_2*, p_6*, p_9*}), (o_11*, {p_2*, p_6*, p_9*}), (o_12*, {p_2*, p_6*, p_9*})}, die das Vorliegen einer bestimmten Temperatur neben ihrer eigenen taktilen Wärmeempfindung durch Ablesen der Meßlatten an ihren Meßgeräten bestimmen wollen.

    Folgende Eigenschaftsnamen werden angenommen:
    • p_1* steht für 'hat eine Temperatur'
    • p_2* für 'hat eine Ausdehnung im Raum'
    • p_3* für 'hat einen geschlossenen Hohlraum'
    • p_4* für 'ist eine Flüssigkeit'
    • p_5* für 'ist ein Gas'
    • p_6* steht für 'ist wärmeempfindlich'
    • p_7* steht für 'dehnt sich aus bei Erwärmung'
    • p_8* steht für 'ist eine Latte mit Markierungen in gleichmäßigen Abständen'
    • p_9* steht für 'hat eine taktile und visuelle Wahrnehmung'
    Es sollen zwei verschiedene Meßgeräte eingesetzt werden MI(m_1*) und MI(m_2*) mit m_1* = ({o_13*, o_14*),{p_7*}) und m_2* = ({o_15*, o_14*),{p_7*}) und (o_13*, {p_2*,p_7*} ), (o_15*, {p_2*,p_7*} ), sowie (o_14*, {p_8*}). D.h. die messenden Objekte o_13* bzw. o_15* dehnen sich bei Kontakt mit einem zu messenden Objekt aus. Diese Ausdehnung ist relativ zu einem zweiten Objekt o_14*, auf dem in gleichen Abständen Markierungen aufgebracht sind. Es wird angenommen, daß sich auf den Meßlatten von jedem Meßgerät jeweils ein neutraler Punkt befindet. Dieser neutrale Punkt entspricht der Ausdehnung des Meßkörpers unter den Bedingungen, die er in einem Referenzraum besitzt. Es wird angenommen, daß der neutrale Punkt von m_1* durch den Raum r_1* = {c_200, c_210, c_290, c_300} gegeben ist und für m_2* durch den Raum r_3* = {c_1200, c_1210, c_1290, c_1300}. Es wird vereinbart, daß der Abstand zwischen zwei Markierungen genau eine Temperatureinheit repräsentieren soll. Eine Temperatureinheit sei abgekürzt durch 'u_1*'. Es wird ferner angenommen, daß es eine eindeutige Zuordnungsvorschrift zwischen der Anzahl der Markierungen und den Zahlzeichen gibt (1 Markierung ---> (-)n_1 u_1*, 2 Markierungen ---> (-)n_2 u_1* usf., das Minuszeichen '-' wird gesetzt, wenn die Markierungen unter dem neutralen Punkt liegen.) Jedem Körper, Gas oder jeder Flüssigkeit, die auf definierte Weise mit dem ausdehnbaren Körper o_13 in Berührung kommen, kann dann aufgrund der Ausdehnung und anhand der Markierungen ein Meßwert zugeordnet werden.

    Folgende Meß-Aussagen werden angenommen: DATA_2* = {
    1. DAT(<t*, r_2*,i*, ({m_1*}, {(o_1*,{p_4*,p_1*}) }),(-n_3,u_1*)>,nil)
      Wegen der besseren Lesbarkeit wird hier eine abkürzende Notation benutzt. Es ist zu lesen: Im Zeitintervall t* = (t_1*, t_10*) wird im Raumgebiet r_2* = {c_400*, c_450*, c_850*, c_900*} mit dem Meßgerät m_1* eine Messung an dem Objekt o_1* durch die Gruppe der Untersucher i* vorgenommen. Das Meßgerät zeigt den Wert -n_3 mal u_1* an.

    2. DAT(<t*, r_2*,i*, ({m_1*}, {(o_2*,{p_2*,p_1*}) }),(n_0,u_1*)>,nil)

    3. DAT(<t*, r_2*,i*, ({m_1*}, {(o_3*,{p_2*,p_1*}) }),(n_5,u_1*)>,nil)

    4. DAT(<t*, r_2*,i*, ({m_2*}, {(o_1*,{p_2*,p_1*}) }),(n_7,u_1*)>,nil)

    5. DAT(<t*, r_2*,i*, ({m_2*}, {(o_2*,{p_2*,p_1*}) }),(n_10,u_1*)>,nil)

    6. DAT(<t*, r_2*,i*, ({m_2*}, {(o_3*,{p_2*,p_1*}) }),(n_15,u_1*)>,nil)
    }


    Insufficient Information used by the Order Relations


    Integriert man DATA_2* in die Meßtheorie EMT3, dann kann man die Ordnungsrelationen =_emt3 sowie <_emt3 auf die Daten anwenden. Dabei würde sich u.a. folgende Feststellung ergeben:

    <_emt3(((o_1*,{p_1*, p_4*}),(-n_3, u_1*)), ((o_1*,{p_1*, p_4*}),(n_7, u_1*)))

    Das Objekt o_1* hat mit -n_3* Wärmeeinheiten u_1* einen kleineren Wert als das Objekt o_1* mit n_7* Wärmeeinheiten.

    Dies ist verwirrend, da das gleiche Objekt im gleichen Zeitraum im gleichen Raumgebiet eigentlich nicht eine unterschiedliche Temperatur haben dürfte. Tatsächlich werden hier auch zwei Meßwerte von zwei verschiedenen Meßgeräten verglichen. Dies kommt im Vergleich nicht zum Ausdruck. Für die Zwecke des Messens ist es aber offensichtlich von Interesse, alle Informationen zu berücksichtigen, die einen Beitrag zum Meßwert liefern. Dies ist mindestens das Meßgerät selbst, mit dem gemessen wurde. Strenggenommen sollten aber auch alle anderen Faktoren wie Zeit, Raum, Untersucher und übriger Kontext berücksichtigt werden.


    Enhancing the Types of the Ordering Relations


    Dies läßt sich durch eine Erweiterung der Typisierung der Ordnungsrelationen einer EMT erreichen:

    • =_emt c D x D
    • <_emt c D x D
    mit D = (TIME x Time) x pow(SPACE) x pow(INVEST) x MI x pow(OBJ) x (NUMBER x UNIT)


    Extended Measurement Theory EMT4


    Erweiterte empirische Meßtheorie EMT4* mit erweiterter Typisierung für die Ordnungsrelationen

    Durch die Erweiterung der Typisierung der Ordnungsrelationen sowie durch deren Einfügung in die Meßtheorie verändert sich die Meßtheorie, wenn auch geringfügig.

    Def: EMT4*(ord4*) iff EMT1(ord4*) &
    1. R_th_emt4* = R_th_emt1 u {=_o, <_o} &

      mit

      D = (TIME x Time) x pow(SPACE) x pow(INVEST) x MI x pow(OBJ) x (NUMBER x UNIT)

      soll gelten:

      =_o c D x D &

      <_o cD x D &

    2. Ax_14* = '(A:x,y,i)( x,y in D & i in {1,...,6} => =_o(x,y) iff x_i =_n y_i)'

    3. Ax_15* = '(A:x,y,i)( x,y in D & i in {1,...,5} => <_o(x,y) iff x_i =_n y_i & x_6_1 <_n y_6_1 & x_6_2 =_n y_6_2 )'



    More Refined Types are blocking Ordering relations in wrong Cases


    Mit der erweiterten Ordnungsrelation <_emt4 wäre dann eine Feststellung der Ungleichheit wie

    <_emt3(((o_1*,{p_1*, p_4*}),(-n_3, u_1*)), ((o_1*,{p_1*, p_4*}),(n_7, u_1*)))

    nicht mehr möglich! Dies liegt daran, daß <_emt4 nur dann angewendet werden kann, wenn sämtliche Randbedingungen außer der eigentlichen Meßzahl konstant sind. Dies aber ist hier nicht gegeben, da die Meßwerte mit zwei verschiedenen Meßgeräten gewonnen wurden.




    More precise Measurements are yielding ne kinds of Questions


    Aufgrund dieser Verschärfung ergibt sich nun die neue Frage, wie es möglich ist, daß das gleiche Objekt im gleichen Meßzeitraum und im gleichen Raumgebiet bei den gleichen Untersuchern unterschiedliche Temperaturen aufweist. Die Ursache muß dann in den verwendeten Meßgeräten m_1* und m_2* liegen.

    Hilfestellung bietet hier der Referenzraum r_1*. Es soll gelten:
    1. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {(r_1*,{p_1*}) }),(n_0,u_1*)>,nil)

    2. DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_2*}, {(r_1*,{p_1*}) }),(n_10,u_1*)>,nil)
    M.a.W. das Meßgerät m_1* zeigt im Referenzraum r_1* den Temperaturwert n_0* mal u_1* und das Meßgerät m_2* den Wert n_10*.

    Interval transformations


    An dieser Stelle kann man nun eine Transformationsoperation einführen:

    F_i_scale(x) = a *_emt x +_emt b (a* hat den Zahlenanteil '1' und b* hat den Zahlenwert (i) '0' (dann findet keine Transformation statt) oder (ii) einen Wert verschieden von '0', dann findet eine Transformation statt).

    In F_s_scale wird Gebrauch gemacht von den beiden Operationen '*_emt' sowie '+_emt'. Beides sind empirische Operationen, die die gleiche Typisierung bekommen wie '=_emt' und '<_emt'. Die empirische Addition +_emt wird eingeführt als Operation über Zahlzeichen und die empirische Multiplikation wird mittels der empirischen Addition ebenfalls als Operation über Zahlzeichen eingeführt.


    Applying the Transformation


    Wendet man die neueTransformation an, dann erhält man:

    F_i_scale(<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {(r_1*,{p_1*}) }),(n_0,u_1*)>,nil)

    =_emt4

    (<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {(r_1*,{p_1*}) }),(n_1,u_1*)>,nil)

    *_emt4

    (<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {(r_1*,{p_1*}) }),(n_0,u_1*)>,nil)

    +_emt4

    (<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {(r_1*,{p_1*}) }),(n_10,u_1*)>,nil)

    Dies ergibt

    (<t*, r_1*,i*, ({m_1*}, {(r_1*,{p_1*}) }),(n_10,u_1*)>,nil)

    Dies ist genau der Wert, den m_2* gemessen hat:

    DAT(<t*, r_1*,i*, ({m_2*}, {(r_1*,{p_1*}) }),(n_10,u_1*)>,nil)

    Entsprechend lassen sich auch die anderen Werte in Beziehung setzen.

    Würde man jetzt die Definition der Ordnungsrelationen =_emt4 und <_emt4 dahingehend abändern, daß sie Transformationen der Art F_i_scale() als werterhaltend einstufen, dann könnte man mittels =_emt4 eine 'Gleichheit' bzgl. der durch m_1* und m_2* gemessenen Wärme im Falle der Objekte o_1*, ..., o_3* feststellen. Für die Zwecke des Messens wäre dies wünschenswert, man könnte dann auch mit unterschiedlichen Meßgeräten arbeiten.

    Eine entsprechende Änderung könnte man durch durch ein Axiom der folgenden Art erreichen:

  1. Ax_14b* = '(A:x,y)( x,y in D x =_emt4 y => x =_emt4 F_i_scale(y))'


  2. INHALT