CHAPTER IV: Scientific Description of Reality
4.4. Simple Empirical Scales
4.4.2: Empirical Comparison





'95-Knowbot

(The english annotations below are only a rough characterization of the content of the german text)





KAPITEL IV: Wissenschaftliche Beschreibung der Wirklichkeit
4.4. Einfache Empirische Skalen
4.4.2: Empirische Komparation




AUTHOR: Gerd Döben-Henisch
COAUTHOR: Joachim Hasebrook
DATE OF FIRST GENERATION: Febr 12, 1998
DATE OF LAST CHANGE: Febr 17, 1998
ADDRESS: INM - Institute for New Media, Frankfurt, Germany
EMAIL: doeb@inm.de
URL: INM
Copyright (c) Gerd Döben-Henisch
STATUS: Work in Progress
COOPERATION: Everybody is invited to share the discussions, to contribute with own ideas. The authors decide whether such contributions are accepted for incorporation in the final version.


    Comparison


    Komparation

    Nach der Einführung einer Klassifikation von Gegenständen aus dem Untersuchungsbereich DOM-INV, soll nun exemplarisch eine Vergleichsoperation eingeführt werden.


    Quasi-Sequence


    Quasi-Reihe

    Der Begriff des Vergleichs wird zunächst anhand der Modellstruktur einer Quasi-Reihe entwickelt und dann auf den Fall einer empirischen Meßtheorie übertragen.

    Folgende Struktur wird angenommen:

    Def: Q_SEQ(x) iff x = <D, <=_o, <_o>,A>

    'D' ist ein Objektbereich, '=o' sei eine spezielle Äquivalenzrelation und '<_o' sei eine spezielle Ordnungsrelation. 'A' seien die zugehörigen Axiome. Es gilt:
    1. =_o c D x D
    2. <_o c D x D
    3. A = {Ax_1, ..., Ax_6} mit
      • Ax_1 = '(A:x)( x in D => =_o(x,x)' [REFLEXIVITY]

      • Ax_2 = '(A:x,y)( x,y in D & =_o(x,y) => =_o(y,x)' [SYMMETRY]

      • Ax_3 = '(A:x,y,z)( x,y,z in D & =_o(x,y) & =_o(y,z) => =_o(x,z)' [TRANSITIVITY]

      • Ax_4 = '(A:x,y,z)( x,y,z in D & <_o(x,y) & <_o(y,z) => <_o(x,z)' [TRANSITIVITY]

      • Ax_5 = '(A:x,y)( x,y in D & =_o(x,y) => ~<_o(x,y)' [=_o-IRREFLEXIVITY]

      • Ax_6 = '(A:x,y)( x,y in D => =_o(x,y) or <_o(x,y) or <_o(y,x)' [CONNEXIVITY]
    Aus diesen Axiomen lassen sich folgende Sätze ableiten:
    • L_1:'(A:x)( x in D => ~<_o(x,x)' [IRREFLEXIVITY]

    • L_2:'(A:x,y)( x,y in D <_o(x,y) => ~<_o(y,x)' [ASYMMETRY]

    • L_3:'(A:x,y,z)( x,y,z in D =_o(x,y) & <_o(y,z) => <_o(x,z)' [=_o-TRANSIVITY]


    Für zwei beliebige Elemente x,y aus dem Grundbereich D gilt also, daß sie entweder 'gleich' sind (=_o), daß x 'kleiner' (<_o) y ist oder umgekehrt.


    Including a Quasi-Sequence into an Empirical Measurement Theory.

    Defining a measurement instrument


    Übernahme der Quasi-Reihe in eine empirische Meßtheorie

    Einführung eines Meßinstrumentes

    Grundvoraussetzung ist das Vorhandensein eines Meßgerätes zum Messen einer Eigenschaft, die sich 'graduell ordnen' läßt. Sei MI({o_13, o_14}, {p_1}) solch ein Meßgerät mit (o_13, {p_5, p_6}) und (o_14, {p_7}). Dazu die Bedeutungen 'p_1 := hat ein Gewicht', 'p_5 := ist eine metallische Feder', 'p_6 := dehnt sich bei Belastung aus' und 'p_7 := ist eine Latte mit Markierungen in gleichmäßigen Abständen''. Als Meßeinheit sei zugeordnet 'u_1*'. Die größte mögliche Markierung soll mit dem Zahlzeichen 'n_100' korrespondieren.

    Es sei ferner angenommen, daß man mit diesem Meßgerät in einem vorausgesetzten nichtleeren Untersuchungsbereich DOM_INV nachfolgende Meßwerte gewinnen kann:


    Some Data


    DATA_1* = {

    1. DAT(<t*, r*, i*, (({O_13*, O_14*}, {p_1}), {(O_1*, {p_1, X})}, (n_5*, u_1*)>,nil)

      Der Lesbarkeit halber ist dieser Ausdruck stark abgekürzt: 't*' steht für ein konkretes endliches Zeitintervall (t_0*, t_100*), 'r*' steht für ein endliches Raumgebiet {c_0*, c_100*, c_900*, c_1000*}, 'i*' steht für eine Gruppe von Untersuchern {(O_10, {p_8}), (O_11, {p_8}), (O_11, {p_8})} mit p_8 für 'haben visuelle Wahrnehmung', und '(O_1*, {p_1, X})' steht für das Objekt O_1, das die Eigenschaft p_1 besitzt und möglicherweise noch weitere Eigenschaften X.

    2. DAT(<t*, r*, i*, (({O_13*, O_14*}, {p_1}), {(O_2*, {p_1, X})}, (n_7*, u_1*)>,nil)

    3. DAT(<t*, r*, i*, (({O_13*, O_14*}, {p_1}), {(O_3*, {p_1, X})}, (n_5*, u_1*)>,nil)

    4. DAT(<t*, r*, i*, (({O_13*, O_14*}, {p_1}), {(O_1*, {p_1, X})}, (n_3*, u_1*)>,nil)
    }


    Extending the Measurement Theory EMT1


    Erweiterung der Meßtheorie EMT1

    Will man jetzt eine Ordnung im Sinne einer Quasi-Reihe auf diese Meßwerte anwenden, dann muß man (i) die entsprechenden Relationen in R_th aufnehmen und (ii) die Menge der Basisaxiome um die speziellen Ordnungsaxiome erweitern. Man bekommt dann eine neue erweiterte empirische Meßtheorie EMT3:

    Def: EMT3(ord1*) iff EMT1(ord1*) &
    • R_th_emt3 = R_th_emt1 u {=_o, <_o} &

      Es sei:

      D = (NUMBER x UNIT)

      Dann kann man schreiben:

      =_o c D x D &

      <_o c D x D &

    • Ax_spec_emt3 = Ax_spec_emt1 u {Ax_8, ..., Ax_15} &

    • Ax_8 = '(A:x)( x in D=> =_o(x,x)' [REFLEXIVITY]

    • Ax_9 = '(A:x,y)( x,y in D & =_o(x,y) => =_o(y,x))' [SYMMETRY]

    • Ax_10 = '(A:x,y,z)( x,y,z in D & =_o(x,y) & =_o(y,z) => =_o(x,z))' [TRANSITIVITY]

    • Ax_11 = '(A:x,y,z)( x,y,z in D & <_o(x,y) & <_o(y,z) => <_o(x,z))' [TRANSITIVITY]

    • Ax_12 = '(A:x,y)( x,y in D & =_o(x,y) => ~<_o(x,y))' [=_o-IRREFLEXIVITY]

    • Ax_13 = '(A:x,y)( x,y in D => =_o(x,y) or <_o(x,y) or <_o(y,x))' [CONNEXIVITY]

    • Ax_14 = '(A:x,y)( x,y in D=> =_o(x,y) iff x_1 =_n y_1 & x_2 =_n y_2 )'

    • Ax_15 = '(A:x,y)( x,y in D => <_o(x,y) iff x_1 <_n y_1 & x_2 =_n y_2 )'




    Applying the Ordering Relations within the Measurement Theory


    Anwendung der Ordnungsrelationen innerhalb der Meßtheorie

    Setz man A_dat = DATA_1*, dann enthält M_UNIT(dm(DATA_1*)) alle Elemente der Art (NUMBER, UNIT) aus diesen Daten. Somit kann man die Relationen =_o sowie <_o auf diese Menge anwenden und feststellen, welche Elemente 'gleich' sind und welche sich im Gewicht unterscheiden. Man bekommt z.B.:

    • <_o((n_3*,u_1*), (n_5*, u_1*))
    • =_o((n_5*,u_1*), (n_5*, u_1*))
    • <_o((n_5*,u_1*), (n_7*, u_1*))
    • <_o((n_3*,u_1*), (n_7*, u_1*))
    • =_o((n_7*,u_1*), (n_7*, u_1*))



    Missing Object Information


    Mit diesem Format der Ordnungsrelationen kann man zwar die mit Zahlzeichen indexierten Meßeinheiten ordnen, aber der Bezug zu den zugehörigen Objekten ist verloren gegangen. Dadurch ist es unmöglich, von einem bestimmten Objekt (O_1*,{p_1,X}) zu sagen, daß es verglichen mit irgendeinem anderen Objekt x bezüglich der Einheit U_1* 'gleich' oder 'kleiner' oder 'größer' ist.


    Including Object Information in Order Relations


    Einbeziehung der Objektinformation in die Ordnungsrelationen

    Eine einfache Möglichkeit, die Objektinformation in die Ordnungsrelationen einzubeziehen, besteht darin, daß man die Ordnungsrelationen anders typisiert. Es sei D = (OBJ x (NUMBER x UNIT)). Man erhält dann:
    • =_o c D x D&

    • <_o c D x D


    Zusätzlich muß man die Axiome Ax_14 und Ax_15 modifizieren:
    • Ax_14* = '(A:x,y)( x,y in D => =_o(x,y) iff x_2_1 =_n y_2_1 & x_2_2 =_n y_2_2 )'

    • Ax_15* = '(A:x,y)( x,y in D => <_o(x,y) iff x_2_1 <_n y_2_1 & x_2_2 =_n y_2_2 )'



    Application of new Ordering Relations


    Anwendung der neu typisierten Ordnungsrelationen

    Setz man wieder A_dat = DATA_1*, dann enthält MO_UNIT(dm(DATA_1*)) alle Elemente der Art (OBJ x (NUMBER, UNIT)) aus diesen Daten. Somit kann man die Relationen =_o sowie <_o auf diese Menge anwenden und feststellen, welche Elemente 'gleich' sind und welche sich im Gewicht unterscheiden. Man bekommt in diesem Fall dann z.B.:
    • <_o(((O_1*, {p_1, X},(n_5*, u_1*)), (((O_2*, {p_1, X},(n_7*, u_1*))
      Das Objekt O_1*, das bzgl. der Einheit u_1* den Zahlenwert n_5* hat, ist <_o-kleiner als das Objekt O_2*, das bzgl. der Einheit u_1* den Zahlenwert n_7* hat.

    • =_o(((O_1*, {p_1, X},(n_5*, u_1*)), (((O_3*, {p_1, X},(n_5*, u_1*))
      Das Objekt O_1*, das bzgl. der Einheit u_1* den Zahlenwert n_5* hat, ist =_o-gleich dem Objekt O_3*, das bzgl. der Einheit u_1* ebenfalls den Zahlenwert n_5* hat.
    In dieser erweiterten Schreibweise macht die Feststellung, daß ein Objekt O_1* bzgl. der Einheit u_1* den gleichen Zahlenwert hat wie ein von O_1* verschiedenes Objekt O_3* empirischen Sinn und ist keine bloße analytische Feststellung wie im Falle der einfachen Version =_o((n_5*,u_1*), (n_5*, u_1*)).


    Empirical Measurement Theory EMT3* with Axioms for Comparison


    Erweiterte empirische Meßtheorie EMT3* mit Axiomen für Komparation

    Def: EMT3*(ord1*) iff EMT1(ord1*) &
    • R_th_emt3* = R_th_emt1 u {=_o, <_o} &

      =_o c D x D &

      <_o cD x D &

    • Ax_spec_emt3* = Ax_spec_emt1 u {Ax_8, ..., Ax_15} &
    • Ax_8* = '(A:x)( x in D => =_o(x,x)' [REFLEXIVITY]

    • Ax_9* = '(A:x,y)( x,y in D & =_o(x,y) => =_o(y,x))' [SYMMETRY]

    • Ax_10* = '(A:x,y,z)( x,y,z in D & =_o(x,y) & =_o(y,z) => =_o(x,z))' [TRANSITIVITY]

    • Ax_11* = '(A:x,y,z)( x,y,z in D & <_o(x,y) & <_o(y,z) => <_o(x,z))' [TRANSITIVITY]

    • Ax_12* = '(A:x,y)( x,y in D & =_o(x,y) => ~<_o(x,y))' [=_o-IRREFLEXIVITY]

    • Ax_13* = '(A:x,y)( x,y in D => =_o(x,y) or <_o(x,y) or <_o(y,x))' [CONNEXIVITY]

    • Ax_14* = '(A:x,y)( x,y in D => =_o(x,y) iff x_2_1 =_n y_2_1 & x_2_2 =_n y_2_2 )'

    • Ax_15* = '(A:x,y)( x,y in D => <_o(x,y) iff x_2_1 <_n y_2_1 & x_2_2 =_n y_2_2 )'




    INHALT