CHAPTER IV: Scientific Description
of Reality
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KAPITEL IV: Wissenschaftliche
Beschreibung der Wirklichkeit
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Comparison |
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Komparation
Nach der Einführung einer Klassifikation von Gegenständen aus dem Untersuchungsbereich DOM-INV, soll nun exemplarisch eine Vergleichsoperation eingeführt werden. |
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Quasi-Sequence |
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Quasi-Reihe Der Begriff des Vergleichs wird zunächst anhand der Modellstruktur einer Quasi-Reihe entwickelt und dann auf den Fall einer empirischen Meßtheorie übertragen. Folgende Struktur wird angenommen: Def: Q_SEQ(x) iff x = <D, <=_o, <_o>,A> 'D' ist ein Objektbereich, '=o' sei eine spezielle Äquivalenzrelation und '<_o' sei eine spezielle Ordnungsrelation. 'A' seien die zugehörigen Axiome. Es gilt:
Für zwei beliebige Elemente x,y aus dem Grundbereich D gilt also, daß sie entweder 'gleich' sind (=_o), daß x 'kleiner' (<_o) y ist oder umgekehrt. |
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Including a Quasi-Sequence into
an Empirical Measurement Theory. Defining a measurement instrument |
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Übernahme der Quasi-Reihe in eine empirische
Meßtheorie Einführung eines Meßinstrumentes Grundvoraussetzung ist das Vorhandensein eines Meßgerätes zum Messen einer Eigenschaft, die sich 'graduell ordnen' läßt. Sei MI({o_13, o_14}, {p_1}) solch ein Meßgerät mit (o_13, {p_5, p_6}) und (o_14, {p_7}). Dazu die Bedeutungen 'p_1 := hat ein Gewicht', 'p_5 := ist eine metallische Feder', 'p_6 := dehnt sich bei Belastung aus' und 'p_7 := ist eine Latte mit Markierungen in gleichmäßigen Abständen''. Als Meßeinheit sei zugeordnet 'u_1*'. Die größte mögliche Markierung soll mit dem Zahlzeichen 'n_100' korrespondieren. Es sei ferner angenommen, daß man mit diesem Meßgerät in einem vorausgesetzten nichtleeren Untersuchungsbereich DOM_INV nachfolgende Meßwerte gewinnen kann: |
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Some Data |
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DATA_1*
= {
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Extending the Measurement Theory
EMT1 |
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Erweiterung
der Meßtheorie EMT1 Will man jetzt eine Ordnung im Sinne einer Quasi-Reihe auf diese Meßwerte anwenden, dann muß man (i) die entsprechenden Relationen in R_th aufnehmen und (ii) die Menge der Basisaxiome um die speziellen Ordnungsaxiome erweitern. Man bekommt dann eine neue erweiterte empirische Meßtheorie EMT3: Def: EMT3(ord1*) iff EMT1(ord1*) &
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Applying the Ordering Relations
within the Measurement Theory |
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Anwendung
der Ordnungsrelationen innerhalb der Meßtheorie Setz man A_dat = DATA_1*, dann enthält M_UNIT(dm(DATA_1*)) alle Elemente der Art (NUMBER, UNIT) aus diesen Daten. Somit kann man die Relationen =_o sowie <_o auf diese Menge anwenden und feststellen, welche Elemente 'gleich' sind und welche sich im Gewicht unterscheiden. Man bekommt z.B.:
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Missing Object Information |
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Mit
diesem Format der Ordnungsrelationen kann man zwar die mit
Zahlzeichen indexierten Meßeinheiten ordnen, aber der Bezug
zu den zugehörigen Objekten ist verloren gegangen. Dadurch ist
es unmöglich, von einem bestimmten Objekt (O_1*,{p_1,X}) zu sagen,
daß es verglichen mit irgendeinem anderen Objekt x bezüglich
der Einheit U_1* 'gleich' oder 'kleiner' oder 'größer' ist. |
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Including Object Information in
Order Relations |
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Einbeziehung
der Objektinformation in die Ordnungsrelationen Eine einfache Möglichkeit, die Objektinformation in die Ordnungsrelationen einzubeziehen, besteht darin, daß man die Ordnungsrelationen anders typisiert. Es sei D = (OBJ x (NUMBER x UNIT)). Man erhält dann:
Zusätzlich muß man die Axiome Ax_14 und Ax_15 modifizieren:
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Application of new Ordering
Relations |
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Anwendung
der neu typisierten Ordnungsrelationen Setz man wieder A_dat = DATA_1*, dann enthält MO_UNIT(dm(DATA_1*)) alle Elemente der Art (OBJ x (NUMBER, UNIT)) aus diesen Daten. Somit kann man die Relationen =_o sowie <_o auf diese Menge anwenden und feststellen, welche Elemente 'gleich' sind und welche sich im Gewicht unterscheiden. Man bekommt in diesem Fall dann z.B.:
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Empirical Measurement Theory
EMT3* with Axioms for Comparison |
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Erweiterte empirische Meßtheorie EMT3* mit Axiomen
für Komparation Def: EMT3*(ord1*) iff EMT1(ord1*) &
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