APPENDIX II: A Short Grammar for the used settheoretical language(The english annotations below are only a rough characterization of the content of the german text) |
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ANHANG II: Kurze Grammatik der verwendeten mengentheoretischen SpracheAUTHOR: Gerd Döben-Henisch COAUTHOR: Joachim Hasebrook DATE OF FIRST GENERATION: Jan 13, 1998 DATE OF LAST CHANGE: Febr 25, 1998 ADDRESS: INM - Institute for New Media, Frankfurt, Germany EMAIL: doeb@inm.de URL: INM Copyright (c) Gerd Döben-Henisch STATUS: Work in Progress COOPERATION: Everybody is invited to share the discussions, to contribute with own ideas. The authors decide whether such contributions are accepted for incorporation in the final version. |
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Remark: The following presentation of a grammar for the settheoretical language using a categorical grammar follows mainly P.HINST [1992/93] Einführung in die mengentheoretische Sprache NBG. Deviations in details are due to the author. | |
Anmerkung: Die folgende Darstellung der Grammatik
der mengentheoretischen Sprache mittels einer kategorialen Grammatik
folgt weitgehend der Darstellung von P.HINST [1992/93] Einführung
in die mengentheoretische Sprache NBG. Abweichungen im Detail
verantwortet der Autor. |
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Sign usage nothing else than special operations with objects. Towards a formal grammar. | |
Wie
schon im Kap. 4.2 festgestellt wurde, führt das Hantieren
mit Zeichen grundsätzlich nicht aus dem Bereich des Hantierens
mit Objekten hinaus, da Zeichen immer mittels eines Zeichenmaterials
realisiert werden müssen; Zeichenmaterial aber ist nichts anderes
als das Vorhandensein konkreter Objektkonstellationen, die durch
bestimmte Eigenschaften charakterisiert sind. Der Gebrauch von Zeichen setzt voraus, daß sich im Bereich des Zeichenmaterials kleinste, unterscheidbare Einheiten angeben lassen, die eine Menge von Grundelementen, ein Alphabet bilden. Aus diesen Grundelementen lassen sich dann durch festgelegte Handlungen/ Operationen/ Erzeugungsregeln diejenigen Kombinationen von Grundelementen bilden, die als wohlgeformte Ausdrücke im Rahmen des Zeichengebrauchs benutzt werden. Die Menge der hier einschlägigen Erzeugungsregeln konstituiert eine Grammatik/ Syntax. Denkbar sind genauso Analyseregeln die eine Zeichenkette durch mehrfache Anwendung in einfachere Bestandteile zerlegen bis daß entweder nur noch erlaubte Grundelemente des Zeichensystems übrigbleiben oder aber unzerlegbare Zeichen, die keine Grundelemente sind. Eine solche rein auf die Kombinatorik von Zeichenketten ausgelegte Grammatik ist eine formale Grammatik und die durch formale Grammatiken beschreibbaren Sprachen heißen formale Sprachen. |
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Using the everyday language a formal settheoretical language will be introduced | |
Die
formale Sprache, die jetzt mittels der deutschen Umgangssprache
eingeführt werden soll, ist eine mengentheoretischen Sprache
L_set, die dazu benutzt wird, um über existenzmäßig
nicht ausgezeichnete Mengen und deren Eigenschaften zu sprechen. In
der mengentheoretischen Sprache werden eine Reihe von Namen zur
Verfügung gestellt und Regeln, wie man mit diesen Namen operiert.
Interpretationsregeln, wie diese formalen Konstrukte auf irgendetwas jenseits
ihrer selbst zu beziehen seien, sind nicht Bestandteil dieser
Sprache. Die aus anderen Kontexten bekannten aussagenlogischen und
prädikatenlogischen Mittel sind in diese Sprache integriert Anmerkung: Bei einem anderen Vorgehen kann man zunächst nur die Quantorenlogik 1.Stufe einführen und dann durch Erweiterung dieser Logik um die Elementschaftsrelation und geeigneter Axiome daraus die mengentheoretische Sprache bilden. |
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Zuerst
werden einige endliche Mengen unterschiedlicher Namen
eingeführt.
set_const = individual_constants u variables u functional_constants u predicate_constants u logical_constants u quantifier_constants |
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Introducing signs representing categories | |
Zusätzlich
zu diesen (ausführbar unendlichen) Mengen sollen
nun noch Zeichenkategorien in Form von Signaturen
eingeführt werden. Diese werden durch Erzeugungsregeln in Form von
Ersetzungsregeln/ Produktionsregeln beschrieben. Es gibt drei atomare/ terminale Kategorien: {<>, <0>, <1>} Es gibt die folgenden nichtterminalen/ abstrakten Kategorien: {H,T,h} Dazu die folgenden Ersetzungsregeln/ Produktionsregeln:
BEISPIELE:
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Settheoretical expressions as combinations of settheoretical constants with categories | |
Die
Menge der erlaubten atomaren Ausdrücke der Sprache
L_set wird jetzt definiert als eine Menge von Paaren bestehend aus
einem Element aus set_const sowie einem Element aus kat:
set_expressions c set_const x kat. BEISPIELE:
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The application of operators onto potential arguments | |
Operatoren
können auf potentielle Argumente angewendet
werden. Sei X ein Operator mit den Tail-Kategorien k_1, ..., k_n. Wenn
es n-viele potentielle Argumente a_1 ... a_n gibt, deren Kategorien mit
den Tail-Kategorien k_1, ..., k_n des Operators 'übereinstimmen',
dann besteht die Anwendung des Operators X auf die potentiellen
Argumente a_1 ... a_n darin, daß die potentiellen Argumente nach
einer vereinbarten Weise mit dem Operator hingeschrieben werden. Dabei
verliert sowohl der Operator als auch die Argumente ihre Kategorien und
der neu entstehende Ausdruck bekommt den Kopf der Operatorkategorie als
neue Kategorie. BEISPIEL:
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A first list of used settheoretical constants together with their (german) names and the different ways of writing them down. | |
Es
folgt jetzt eine erste Liste von wichtigen mengentheoretischen
Konstanten samt Hinweisen, wie sie nach ihrer Anwendung auf Argumente
hinzuschreiben sind.
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